控制系统分析与设计（四）：典型环节的数学模型

文章目录

1.比例环节（放大环节）
2.惯性环节
3.积分环节
4.微分环节
5.振荡环节
6.纯滞后环节

具有相同动态特性或者说具有相同传递函数的所有不同物理结构、不同工作原理的元器件，被认为是同一环节，即环节是按动态特性对控制系统各部分进行分类的。应用环节的概念，则物理结构上千差万别的控制系统都是由为数不多的某些环节组成的。典型环节归纳如下：

1.比例环节（放大环节）

输出以一定比例复现输入
y(t)=Ku(t)y(t)=Ku(t)y(t)=Ku(t)
G(s)=Y(s)U(s)=KG(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=KG(s)=U(s)Y(s)=K

2.惯性环节

τddty(t)+y(t)=Ku(t)\tau \frac{d}{dt}y(t)+y(t)=Ku(t)τdtdy(t)+y(t)=Ku(t)
G(s)=Y(s)U(s)=Kτs+1G(s)=\frac {Y(s)}{U(s)}=\frac {K}{\tau s+1}G(s)=U(s)Y(s)=τs+1K
其中τ−时间常数，K−比例系数\tau -时间常数，K-比例系数τ−时间常数，K−比例系数
惯性环节输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟，可以用τ来度量。

惯性环节的阶跃响应：令u(t)=1(t)
U(s)=1sU(s)=\frac 1{s}U(s)=s1
Y(s)=U(s)G(s)=1s∗Kτs+1Y(s)=U(s)G(s)=\frac 1{s}*\frac K{\tau s+1}Y(s)=U(s)G(s)=s1∗τs+1K
且已知L[1(t)]=1s,L[e−αt]=1s+αL[1(t)]=\frac 1{s},L[e^{-\alpha t}]=\frac 1{s+\alpha}L[1(t)]=s1,L[e−αt]=s+α1
则将上式分解成两项之和为
Y(s)=1s∗Kτs+1=As+Bs+1τY(s)=\frac 1{s}*\frac K{\tau s+1}=\frac A{s}+\frac B{s+\frac 1{\tau}}Y(s)=s1∗τs+1K=sA+s+τ1B

A=sY(s)∣s=0=Kτs+1∣s=0=K\left.A=sY(s) \right| _{s=0} =\left.\frac K{\tau s+1} \right| _{s=0}=KA=sY(s)∣s=0=τs+1K∣∣∣∣s=0=K
B=(s+1τ)Y(s)∣s=−1τ=Kτs∣s=−1τ=−K\left.B=(s+\frac 1{\tau})Y(s) \right| _{s=-\frac 1{\tau}}=\left.\frac{K}{\tau s} \right| _{s=-\frac 1{\tau}}=-KB=(s+τ1)Y(s)∣∣∣∣s=−τ1=τsK∣∣∣∣s=−τ1=−K
即
Y(s)=K(1s−1s+1τ)Y(s)=K(\frac 1{s}-\frac 1{s+\frac 1{\tau}})Y(s)=K(s1−s+τ11)
再作拉氏反变换得
y(t)=L−1[Y(s)]=K(1−e−tτ)y(t)=L^{-1}[Y(s)]=K(1-e^{-\frac t{\tau}})y(t)=L−1[Y(s)]=K(1−e−τt)

3.积分环节

ddty(t)=Ku(t)或y(t)=K∫u(t)dt\frac {d}{dt}y(t)=Ku(t) 或 y(t)=K \int u(t)dtdtdy(t)=Ku(t)或y(t)=K∫u(t)dt
作拉氏变换得
sY(s)=KU(s)sY(s)=KU(s)sY(s)=KU(s)
G(s)=Y(s)U(s)=Ks=1Ts（有时令K=1T）G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac {K}{s}=\frac 1{Ts}（有时令K=\frac 1{T}）G(s)=U(s)Y(s)=sK=Ts1（有时令K=T1）
K-比例系数，T-积分时间常数

积分环节的阶跃响应：令u(t)=1(t),
U(s)=1sU(s)=\frac 1{s}U(s)=s1
Y(s)=U(s)G(s)=Ks2Y(s)=U(s)G(s)=\frac K{s^2}Y(s)=U(s)G(s)=s2K
y(t)=L−1[Y(s)]=Kty(t)=L^{-1}[Y(s)]=Kty(t)=L−1[Y(s)]=Kt

4.微分环节

c(t)=τddtr(t)c(t)=\tau \frac{d}{dt}r(t)c(t)=τdtdr(t)
τ - 时间常数,
G(s)=C(s)R(s)=τsG(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\tau sG(s)=R(s)C(s)=τs
纯微分环节：
G(s)=τsG(s)=\tau sG(s)=τs
一阶微分环节：
G(s)=τs+1G(s)=\tau s+1G(s)=τs+1
二阶微分环节：
G(s)=τ2s2+2ζτs+1，(0<ζ<1)G(s)=\tau^2s^2+2\zeta \tau s+1 ， (0<\zeta<1)G(s)=τ2s2+2ζτs+1，(0<ζ<1)

微分环节的阶跃响应：令r(t)=1(t)
R(s)=1sR(s)=\frac 1{s}R(s)=s1
G(s)=τsG(s)=\tau sG(s)=τs
C(s)=τC(s)=\tauC(s)=τ
则
c(t)=τδ(t)c(t)=\tau \delta(t)c(t)=τδ(t)
注：δ(t)是脉冲函数，δ(0)=∞，δ(t!=0)=0,在整个时间轴上的积分是1
微分环节实例
①RC串联电路

Y(s)=RR+1CsU(s)=RCsRCs+1U(s)Y(s)=\frac R{R+\frac 1{Cs}}U(s)=\frac{RCs}{RCs+1}U(s)Y(s)=R+Cs1RU(s)=RCs+1RCsU(s)
G(s)=Y(s)U(s)=TsTs+1G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{Ts}{Ts+1}G(s)=U(s)Y(s)=Ts+1Ts
其中T=RC - 时间常数

②实际的比例微分电路

Uo(s)=R2Z+R2Ui(s)U_o(s)=\frac{R_2}{Z+R_2}U_i(s)Uo(s)=Z+R2R2Ui(s)
其中Z=R11CsR1+1Cs=R1R1Cs+1Z=\frac{R_1 \frac 1{Cs}}{R_1+\frac 1{Cs}}=\frac{R_1}{R_1Cs+1}Z=R1+Cs1R1Cs1=R1Cs+1R1
G(s)=Uo(s)Ui(s)=α(Ts+1αTs+1)G(s)=\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\alpha(\frac{Ts+1}{\alpha Ts+1})G(s)=Ui(s)Uo(s)=α(αTs+1Ts+1)
其中
T=R1C,α=R2R1+R2T=R_1C,\alpha = \frac {R_2}{R_1+R_2}T=R1C,α=R1+R2R2

5.振荡环节

弹簧阻尼系统的传递函数：
G(s)=1ms2+fs+kG(s)=\frac 1{ms^2+fs+k}G(s)=ms2+fs+k1
RLC电路的传递函数：
G(s)=1LCs2+RCs+1G(s)=\frac{1}{LCs^2+RCs+1}G(s)=LCs2+RCs+11
振荡环节的微分方程：
τ2d2dt2y(t)+2ζτddty(t)+y(t)=Ku(t)\tau^2\frac{d^2}{dt^2}y(t)+2\zeta\tau\frac{d}{dt}y(t)+y(t)=Ku(t)τ2dt2d2y(t)+2ζτdtdy(t)+y(t)=Ku(t)
则其传递函数为：
G(s)=Y(s)U(s)=Kτ2s2+2ζτs+1（时间常数形式,常数项是1）G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac K{\tau^2s^2+2\zeta\tau s+1}（时间常数形式,常数项是1）G(s)=U(s)Y(s)=τ2s2+2ζτs+1K（时间常数形式,常数项是1）
G(s)=Y(s)X(s)=Kωn2s2+2ζωns+ωn2（零极点形式，s2系数是1）G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{K\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}（零极点形式，s^2 系数是1）G(s)=X(s)Y(s)=s2+2ζωns+ωn2Kωn2（零极点形式，s2系数是1）
其中
无阻尼自然振荡频率ωn=1τ无阻尼自然振荡频率ω_n=\frac 1{\tau} 无阻尼自然振荡频率ωn=τ1
阻尼自然振荡频率ωd=ωn1−ζ2阻尼自然振荡频率ω_d=ω_n\sqrt{1-\zeta^2}阻尼自然振荡频率ωd=ωn1−ζ2
ζ为阻尼系数、阻尼比

振荡环节的阶跃响应：令0<ζ<1,K=1,r(t)=1(t),

R(s)=1sR(s)=\frac 1{s}R(s)=s1
G(s)=Kωn2s2+2ζωns+ωn2G(s)=\frac{K\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}G(s)=s2+2ζωns+ωn2Kωn2
C(s)=ωn2s(s2+2ζωns+ωn2)C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)}C(s)=s(s2+2ζωns+ωn2)ωn2
类似惯性环节的阶跃响应，需要对分式分母作因式分解,令：
s2+2ζωns+ωn2=0s^2+2\zeta \omega_ns+\omega_n^2=0s2+2ζωns+ωn2=0
则复数
s=−ζωn±ζ2−1ωns=-\zeta\omega_n \pm \sqrt{\zeta^2-1}\omega_ns=−ζωn±ζ2−1ωn
s=−ζωn±j1−ζ2ωn=−ζωn±jωds=-\zeta\omega_n \pm j\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n=-\zeta\omega_n \pm j\omega_ds=−ζωn±j1−ζ2ωn=−ζωn±jωd
C(s)=ωn2s(s+ζωn+jωd)(s+ζωn−jωd)C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\zeta\omega_n+j\omega_d)(s+\zeta\omega_n-j\omega_d)}C(s)=s(s+ζωn+jωd)(s+ζωn−jωd)ωn2
可化成以下两种形式：
①套用L[e^-αtsinωt]、L[e^-αtcosωt]
C(s)=ωn2s[(s+ζωn)2+ωd2]=As+B(s+ζωn)(s+ζωn)2+ωd2+Cωd(s+ζωn)2+ωd2C(s)=\frac{\omega_n^2}{s[(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2]}=\frac{A}{s}+\frac{B(s+\zeta\omega_n)}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}+\frac{C\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}C(s)=s[(s+ζωn)2+ωd2]ωn2=sA+(s+ζωn)2+ωd2B(s+ζωn)+(s+ζωn)2+ωd2Cωd
C(s)=1s−s+ζωn(s+ζωn)2+ωd2−ζωnωdωd(s+ζωn)2+ωd2C(s)=\frac 1{s}-\frac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}\frac{\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}C(s)=s1−(s+ζωn)2+ωd2s+ζωn−ωdζωn(s+ζωn)2+ωd2ωd
c(t)=1−e−ζωntcosωdt−ζωnωde−ζωntsinωdt=1−e−ζωnt(cosωdt+ζ1−ζ2sinωdt)=1−e−ζωnt1−ζ2(1−ζ2cosωdt+ζsinωdt)=1−e−ζωnt1−ζ2sin(ωdt+ϕ)c(t)=1-e^{-\zeta\omega_nt} cos\omega_dt-\frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}e^{-\zeta\omega_nt}sin\omega_dt =1-e^{-\zeta\omega_nt}(cos\omega_dt+{\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin\omega_dt}) =1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}(\sqrt{1-\zeta^2}cos\omega_dt+\zeta sin\omega_dt) =1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin(\omega_dt+\phi)c(t)=1−e−ζωntcosωdt−ωdζωne−ζωntsinωdt=1−e−ζωnt(cosωdt+1−ζ2ζsinωdt)=1−1−ζ2e−ζωnt(1−ζ2cosωdt+ζsinωdt)=1−1−ζ2e−ζωntsin(ωdt+ϕ)
令ϕ=arctg1−ζ2ζ\phi=arctg\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}ϕ=arctgζ1−ζ2
②套用L[1(t)],L[e^-αt],用留数的方法求
C(s)=As+Bs+ζωn+jωd+Cs+ζωn−jωdC(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\zeta\omega_n+j\omega_d}+\frac{C}{s+\zeta\omega_n-j\omega_d}C(s)=sA+s+ζωn+jωdB+s+ζωn−jωdC

6.纯滞后环节

输出信号比输入信号滞后一段时间
c(t)=r(t−τ)c(t)=r(t-\tau)c(t)=r(t−τ)
其中τ - 滞后时间常数，作拉氏变换：
C(s)=∫0∞r(t−τ)e−stdtC(s)=\int_0 ^ \infty {r(t-\tau)e^{-st}}dtC(s)=∫0∞r(t−τ)e−stdt令t-τ=ζ，则
C(s)=∫0∞r(ζ)e−s(ζ+τ)dζ=e−τs∫0∞r(ζ)e−sζdζ=e−τsR(s)C(s)=\int_0^\infty {r(\zeta)e^{-s(\zeta+\tau)}d\zeta}=e^{-\tau s}\int_0^\infty{r(\zeta)e^{-s\zeta}}d\zeta=e^{-\tau s}R(s)C(s)=∫0∞r(ζ)e−s(ζ+τ)dζ=e−τs∫0∞r(ζ)e−sζdζ=e−τsR(s)
G(s)=C(s)R(s)=e−τsG(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=e^{-\tau s}G(s)=R(s)C(s)=e−τs