《概率统计》知识点（持续更新……）

条件概率与全概率公式

条件概率：P(A∣B)=P(AB)P(B)P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(AB)全概率公式：P(B)=∑i=1∞P(AiB)=∑i=1∞P(Ai)P(B∣Ai)P(B)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_iB)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)P(B|A_i)P(B)=i=1∑∞P(AiB)=i=1∑∞P(Ai)P(B∣Ai)简化版的全概率公式：P(B)=P(AB)+P(AˉB)=P(A)P(B∣A)+P(Aˉ)P(B∣Aˉ)P(B)=P(AB)+P(\bar AB)=P(A)P(B|A)+P(\bar A)P(B|\bar A)P(B)=P(AB)+P(AˉB)=P(A)P(B∣A)+P(Aˉ)P(B∣Aˉ)
【例】：人患癌症的概率为1/1000.假设有一台癌症诊断仪S1，通过对它以往的诊断记录的分析，如果患者确实患有癌症它的确诊率为90%,如果患者没有癌症，被诊断成癌症的概率是10%。某人在被诊断为癌症后，他真正患癌症的概率是多少？
【解】：把该人被诊断为癌症记为事件XXX，没有被诊断为癌症记为事件Xˉ\bar XXˉ，在自然人群中患有癌症记为事件YYY，没有患癌症记为事件Yˉ\bar YYˉ。依题意得P(X∣Y)=90%P(X|Y)=90\%P(X∣Y)=90%P(X∣Yˉ)=10%P(X|\bar Y)=10\%P(X∣Yˉ)=10%P(Y)=1/1000P(Y)=1/1000P(Y)=1/1000P(Yˉ)=999/1000P(\bar Y)=999/1000P(Yˉ)=999/1000则P(X)=P(Y)P(X∣Y)+P(Yˉ)P(X∣Yˉ)=100.8/1000P(X)=P(Y)P(X|Y)+P(\bar Y)P(X|\bar Y)=100.8/1000P(X)=P(Y)P(X∣Y)+P(Yˉ)P(X∣Yˉ)=100.8/1000P(Y∣X)=P(XY)P(X)=P(Y)P(X∣Y)P(X)=1/112P(Y|X)=\frac{P(XY)}{P(X)}=\frac{P(Y)P(X|Y)}{P(X)}=1/112P(Y∣X)=P(X)P(XY)=P(X)P(Y)P(X∣Y)=1/112
【例】H同学每天乘公交上学，早上睡过头或遇到堵车都会迟到；H早上睡过头的概率为0.2，路上遇到堵车的概率为0.5；若某天早上H迟到了，那么以下推测正确的有（）。
a) 今天H早上睡过头了的概率大于0.2
b) 今天H早上遇到堵车的概率小于0.5
【解】：a。
记X表示睡过头，Y表示遇到堵车，Z表示迟到P(Z)=1−P(XˉYˉ)=1−P(Xˉ)P(Yˉ)=1−0.4=0.6P(Z)=1-P(\bar X \bar Y)=1-P(\bar X)P(\bar Y)=1-0.4=0.6P(Z)=1−P(XˉYˉ)=1−P(Xˉ)P(Yˉ)=1−0.4=0.6P(X∣Z)=P(XZ)P(Z)=P(Z∣X)P(X)P(Z)=0.20.6P(X|Z)=\frac{P(XZ)}{P(Z)}=\frac{P(Z|X)P(X)}{P(Z)}=\frac{0.2}{0.6}P(X∣Z)=P(Z)P(XZ)=P(Z)P(Z∣X)P(X)=0.60.2P(Y∣Z)=P(YZ)P(Z)=P(Z∣Y)P(X)P(Z)=0.50.6P(Y|Z)=\frac{P(YZ)}{P(Z)}=\frac{P(Z|Y)P(X)}{P(Z)}=\frac{0.5}{0.6}P(Y∣Z)=P(Z)P(YZ)=P(Z)P(Z∣Y)P(X)=0.60.5

概率的加法公式及推论

概率的加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)推论1：P(A∪B)≤P(A)+P(B)P(A\cup B)\le P(A)+P(B)P(A∪B)≤P(A)+P(B)推论2：P(AB)≥P(A)+P(B)−1P(AB)\ge P(A)+P(B)-1P(AB)≥P(A)+P(B)−1
【例】：若AB为任意两个随机事件，则（）
a) P(AB)>=(P(A)+P(B))/2
b) P(AB)<=P(A)P(B)
c) P(AB)<=(P(A)+P(B))/2
d) P(AB)>=P(A)P(B)
【解】c。
由P（AB）定义可知：P（AB）<=P(A)，P（AB）<=P(B)；相加，除以2得c。
关于b，当A和B是包含关系时错误。
关于d，当A和B互斥时P(AB)=0，P(A)P(B)>=0

独立和互斥

互斥，即两个事件不能同时发生。即交集为空,但可能会产生相互影响（比如A发生,B就一定不发生了）。
独立，即事件之间的发生互不影响,但可能会同时发生。
独立事件可能是互斥事件，而互斥事件一定不是独立事件。