【HDU 5251】矩形面积【凸包最小矩形覆盖】

题意：

给定n个点，求一个将所有点覆盖的最小面积的矩形。

思路：

首先结果矩形一定有一条边在点集的凸包边上。因此我们枚举每一条边，只要求出其对应的 r(垂直距离最远的点)、p(距离线正向最远的点)、q(距离线负向最远的点)，即可求出这个矩形的面积。

首先求r，r点即为(ps[i],ps[i+1])，(ps[i],r)叉积最大的点。然后求p，p点即为(ps[i],ps[i+1])，(ps[i],p)点积最大的点。最后求q，q即为(ps[i],ps[i+1])，(ps[i],q)点积最小的点。因此在n^2的复杂度内即可求出该矩形。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x) cout << "x: " << x << endl;
#define LOG2(x,y) cout << "x: " << x << ", y: " << y << endl;
#define LOG3(x,y,z) cout << "x: " << x << ", y: " << y << ", z: " << z << endl;
#define LOG4(x,y,z,h) cout << "x: " << x << ", y: " << y << ", z: " << z << ", h: " << h << endl;
#define pi acos(-1.0)
#define cross(p1,p2,p3) ((p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y)-(p3.x-p1.x)*(p2.y-p1.y)) //向量(p1,p2)与(p1,p3)叉乘
#define crossOp(p1,p2,p3) sign(cross(p1,p2,p3)) //判断正负，顺时针为负, 为0则代表三点共线
using namespace std;//实数比较
typedef double db;
const db EPS = 1e-9;
inline int sign(db a) {return a < -EPS ? -1 : a > EPS; } //返回-1表示a < 0, 1表示a > 0, 0表示a = 0
inline int cmp(db a, db b) {return sign(a-b); } //返回-1表示a < b, 1表示a > b，0表示 a==b//点类
struct P {db x,y;P() {}P(db _x, db _y) : x(_x), y(_y) {}P operator+(P p) { return {x+p.x, y+p.y}; }P operator-(P p) { return {x-p.x, y-p.y}; }P operator*(db d) { return {x*d, y*d}; }P operator/(db d) { return {x/d, y/d}; }db dot(P p) { return x*p.x+y*p.y; }   //点积db det(P p) { return x*p.y-y*p.x; } //叉积P rot(db an) { return {x*cos(an)-y*sin(an),x*sin(an)+y*cos(an)}; } //旋转db abs() { return sqrt(abs2()); }db abs2() { return x*x+y*y; }db disTo(P p) { return (*this-p).abs(); }//此时在x负半轴上的点, 排序结果是最小的。如果去掉sign(x)>=0, 则排序结果是最大的int quad() const { return sign(y) == 1 || (sign(y) == 0 && sign(x) >= 0); } //判断该点是否在x轴上方或x轴上bool operator<(P p) const {int c = cmp(x, p.x);if (c) return c == -1;    //先判断x大小return cmp(y, p.y) == -1; //再判断y大小}bool operator==(P p) const {return cmp(x, p.x) == 0 && cmp(y, p.y) == 0;}bool operator!=(P p) const{return (cmp(x, p.x) || cmp(y,p.y));}
}tmp;db dot(P A, P B, P C){return (B-A).dot(C-A);
}vector<P> convexHull(vector<P> ps) {int n = ps.size(); if(n <= 1) return ps;sort(ps.begin(),ps.end());vector<P> qs(n*2); int k = 0;for(int i = 0; i < n; qs[k++] = ps[i++])while(k > 1 && crossOp(qs[k-2],qs[k-1],ps[i]) <= 0) --k;    //把 <= 改成 <, 即可将凸包边上的点也包括在凸包中, 不稳定凸包问题 for(int i = n-2, t = k; i >= 0; qs[k++] = ps[i--])while(k > t && crossOp(qs[k-2],qs[k-1],ps[i]) <= 0) --k;qs.resize(k-1);return qs;
}db minRectangleCover(vector<P> ps){//凸包点集顺序按逆时针int n = ps.size();   if(n < 3) return 0.0;ps.push_back(ps[0]);db ans = -1;int r = 1, p = 1, q;for(int i = 0; i < n; i++){//求出离边 ps[i]-ps[i+1] 最远的点 rwhile(sign(cross(ps[i],ps[i+1],ps[r+1])-cross(ps[i],ps[i+1],ps[r])) >= 0) //叉积最大即为到点r到ps[i+1]-ps[i]这条边的距离最大r = (r+1)%n;//卡出 ps[i]-ps[i+1] 方向上正向 n 最远的点 pwhile(sign(dot(ps[i],ps[i+1],ps[p+1])-dot(ps[i],ps[i+1],ps[p])) >= 0) //正向最远即为点积最大p = (p+1)%n;if(i == 0) q = p;//卡出 ps[i]-ps[i+1]方向上负向最远的点 qwhile(sign(dot(ps[i],ps[i+1],ps[q+1]) - dot(ps[i],ps[i+1],ps[q])) <= 0)  //负向最大即为点积最小q = (q+1)%n;db d = ps[i].disTo(ps[i+1]);    //线段长度d = d*d;//叉积求出高，点积求出底边db tmp = cross(ps[i],ps[i+1],ps[r]) *     (dot(ps[i],ps[i+1],ps[p])-dot(ps[i],ps[i+1],ps[q]))/d;if(ans < 0 || ans > tmp) ans = tmp;}return ans;
}int main()
{int n,_;scanf("%d",&_);rep(k,1,_){scanf("%d",&n);if(n == 0) break;vector<P> tp;tp.clear();// scanf("%d",&n);n *= 4;rep(i,1,n){db x,y;scanf("%lf%lf",&x,&y);tmp = {x,y};tp.push_back(tmp);}tp = convexHull(tp);// rep(i,0,tp.size()-1) printf("%lf,%lf\n",tp[i].x,tp[i].y);db ans = minRectangleCover(tp);printf("Case #%d:\n",k);printf("%.0f\n",ans);}return 0;
}

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