交流电机Clark变换中的功率不变约束与幅值不变约束

对符号进行说明如下：

ω\omegaω —— 相电流角频率
P1,P2P_1, P_2P1,P2 —— 变换前后的功率
N2,N3N_2, N_3N2,N3 —— 分别为两相和三相相绕组等效匝数
ia,ib,ici_a, i_b, i_cia,ib,ic —— 电机三相相电流，设为正弦量，且时间相位上互差120°；
ua,ub,ucu_a, u_b, u_cua,ub,uc —— 电机三相相电压
uα,iα,uβ,iβu_\alpha, i_\alpha, u_\beta, i_\betauα,iα,uβ,iβ —— 两相静止坐标系下的电压和电流矢量

明确点

首先明确无论采用何种变换，必须保证电机气隙内磁动势相同，也即变换前后磁动势必须等效，根据下图可知，利用几何关系有：

{N3ia−12N3ib−12N3ic=N2iα32N3ib−32N3ic=N2iβ(1-1)\begin{cases} N_3i_a - \frac{1}{2}N_3i_b - \frac{1}{2}N_3i_c = N_2i_\alpha \\ \frac{\sqrt{3}}{2}N_3i_b - \frac{\sqrt{3}}{2}N_3i_c = N_2i_\beta\\ \end{cases} \tag{1-1} {N3ia−21N3ib−21N3ic=N2iα23N3ib−23N3ic=N2iβ(1-1)
⟹[iαiβ]=N3N2[1−12−12032−32][iaibic](1-2)\implies \left[ \begin{matrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{matrix} \right] = \frac{ N_3 }{ N_2 } \left[\begin{matrix} 1 & -\frac{ 1 }{ 2 } & -\frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & -\frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ i_c\end{matrix} \right] \tag{1-2} ⟹[iαiβ]=N2N3[10−2123−21−23]⎣⎡iaibic⎦⎤(1-2)
设k=N3N2k=\frac{N_3 }{ N_2 }k=N2N3，根据不同的约束可以推导出不同kkk值。

恒幅值约束

恒幅值约束在于变量在变换前后的幅值不变，因为三相电流都为正弦量，且时间相位上互差120°，因此：
{ia=Icos(ωt)ib=Icos(ωt+120)ic=Icos(ωt−120)(2-1)\begin{cases} i_a = I cos( \omega t ) \\ i_b = I cos( \omega t + 120 ) \\ i_c = I cos( \omega t - 120 ) \\ \end{cases} \tag{2-1} ⎩⎪⎨⎪⎧ia=Icos(ωt)ib=Icos(ωt+120)ic=Icos(ωt−120)(2-1)
将式(2-1)带入式(1-2)，且ia+ib+ic=0i_a + i_b + i_c = 0ia+ib+ic=0，可以得到：
iα=k(ia−12ib−12ic)=32kia=32kIcos(ωt)iβ=32k(ib−ic)=32kI[cos(ωt+120)−cos(ωt−120)]=−32kIsin(ωt)(2-2)i_\alpha = k(i_a - \frac{1}{2}i_b - \frac{1}{2}i_c) = \frac{3}{2}ki_a = \frac{3}{2}kIcos(\omega t) \\ i_\beta = \frac{ \sqrt{3} }{2}k(i_b-i_c) = \frac{ \sqrt{3} }{2}kI[cos(\omega t + 120) - cos(\omega t - 120)] = -\frac{3}{2}kIsin(\omega t) \tag{2-2} iα=k(ia−21ib−21ic)=23kia=23kIcos(ωt)iβ=23k(ib−ic)=23kI[cos(ωt+120)−cos(ωt−120)]=−23kIsin(ωt)(2-2)
由式(2-2)可知，要想保证变换前后幅值不变，则有：
{∣32kI∣=I∣−32kI∣=I(2-3)\begin{cases} | \frac{ 3}{2}kI | = I \\ | -\frac{3}{2}kI | = I \\ \end{cases} \tag{2-3} {∣23kI∣=I∣−23kI∣=I(2-3)
求解式(2-3)即得k=23k = \frac{ 2 }{ 3 }k=32。

恒功率约束

恒功率约束在于变换前后通入的功率保持不变，即输入三相功率等于变换后的两相功率。变换前的功率比较容易，三相电压电流瞬时值相乘即可：
P1=uaia+ubib+ucic(3-1)P_1 = u_a i_a + u_b i_b + u_c i_c \tag{3-1} P1=uaia+ubib+ucic(3-1)
如果取与电流变换相同的变换阵，则有：
uα=k(ua−12ub−12uc)uβ=32k(ub−uc)(3-2)u_\alpha = k(u_a - \frac{1}{2}u_b - \frac{1}{2}u_c) \\ u_\beta = \frac{3}{2}k(u_b - u_c) \tag{3-2} uα=k(ua−21ub−21uc)uβ=23k(ub−uc)(3-2)
变换后的功率与变换前的功率计算式类似，有：
P2=uαiα+uβiβ(3-3)P_2 = u_\alpha i_\alpha + u_\beta i_\beta \tag{3-3} P2=uαiα+uβiβ(3-3)
将式(2-2)与式(3-2)带入式(3-3)可知：
P2=32k2(ua−12ub−12uc)ia+34k2(ub−uc)(ib−ic)=34k2uaia+34k2ubib+34k2ucic+34k2uaia−34k2ubia−34k2ucia−34k2ucib−34k2ubic=34k2P1+34k2(uaia−ubia−ucia−ucib−ubic)(3-4)P_2 = \frac{ 3}{2}k^2(u_a - \frac{1}{2}u_b - \frac{1}{2}u_c)i_a + \frac{3}{4}k^2(u_b - u_c)(i_b - i_c) \\ = \frac{3}{4}k^2u_ai_a + \frac{3}{4}k^2u_bi_b + \frac{3}{4}k^2u_ci_c + \\ \frac{3}{4}k^2u_ai_a - \frac{3}{4}k^2u_bi_a - \frac{3}{4}k^2u_ci_a - \frac{3}{4}k^2u_ci_b - \frac{3}{4}k^2u_bi_c \\ = \frac{3}{4}k^2P_1 + \frac{3}{4}k^2(u_ai_a - u_bi_a - u_ci_a - u_ci_b - u_bi_c) \tag{3-4} P2=23k2(ua−21ub−21uc)ia+43k2(ub−uc)(ib−ic)=43k2uaia+43k2ubib+43k2ucic+43k2uaia−43k2ubia−43k2ucia−43k2ucib−43k2ubic=43k2P1+43k2(uaia−ubia−ucia−ucib−ubic)(3-4)
利用−ia=ib+ic-i_a = i_b + i_c−ia=ib+ic带入式(3-4)中的−ubia−ucia- u_bi_a - u_ci_a−ubia−ucia部分，则可继续展开得到：
P2=34k2P1+34k2(uaia+ubib+ubic+ucib+ucic−ucib−ubic)=34k2P1+34k2(uaia+ubib+ucic)=34k2P1+34k2P1=32k2P1(3-5)P_2 = \frac{ 3 }{ 4 }k^2P_1 + \frac{ 3 }{ 4 }k^2(u_ai_a + u_bi_b + u_bi_c + u_ci_b + u_ci_c - u_ci_b - u_bi_c) \\ = \frac{ 3 }{ 4 }k^2P_1 + \frac{ 3 }{ 4 }k^2(u_ai_a + u_bi_b + u_ci_c) \\ = \frac{ 3 }{ 4 }k^2P_1 + \frac{ 3 }{ 4 }k^2P_1 \\ = \frac{ 3 }{ 2 }k^2P_1 \tag{3-5} P2=43k2P1+43k2(uaia+ubib+ubic+ucib+ucic−ucib−ubic)=43k2P1+43k2(uaia+ubib+ucic)=43k2P1+43k2P1=23k2P1(3-5)
为了保证功率不变，则需要P2=P1P_2 = P_1P2=P1，有：
P2=32k2P1=P1(3-6)P_2 = \frac{ 3 }{ 2 }k^2P_1 = P_1 \tag{3-6} P2=23k2P1=P1(3-6)
显然，此使k=23k = \sqrt{\frac{ 2 }{ 3 } }k=32。

Note

注意到，采用恒幅值变化后，功率发生了变化：
P2=32k2P1=23P1P_2 = \frac{3}{2}k^2P_1 = \frac{2}{3}P_1 P2=23k2P1=32P1
因此导致最终推导电机转矩计算式时会产生差异。