2020张宇1000题【好题收集】【第七章：三重积分、曲线曲面积分】

文章目录

第一类曲线积分
- 基础知识
- 7.15
- 7.18
第一类曲面积分
- 基础知识
- 7.20【形心坐标化简】
- 7.29
第二类曲线积分
- 7.30【凑全微分】
- 7.41
- 7.47
第二类曲面积分
- 第二类曲面积分对称性与其他积分的区别
- 7.510（计算比较复杂）
- 7.56（打星）
场论
- 基础知识
- 7.65
- 7.66

第一类曲线积分

基础知识

ds=1+y′2dxds=\sqrt{1+y'^2}dxds=1+y′2dx
ds=r2+r′2dθds=\sqrt{r^2+r'^2}d\thetads=r2+r′2dθ
这个是{x=rcosθy=rsinθ⇒{dx=[r′cosθ+r(−sinθ)]dθdy=[r′sinθ+rcosθ]dθ然后ds=(dx)2+(dy)2来的这个是\left\{\begin{matrix} x=rcos\theta\\ \\ y=rsin\theta \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} dx=[r'cos\theta+r(-sin\theta)]d\theta\\ \\ dy=[r'sin\theta+rcos\theta]d\theta \end{matrix}\right.然后ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}来的这个是⎩⎨⎧x=rcosθy=rsinθ⇒⎩⎨⎧dx=[r′cosθ+r(−sinθ)]dθdy=[r′sinθ+rcosθ]dθ然后ds=(dx)2+(dy)2来的

7.15

求抛物柱面y=x被平面z=0,z=y和y=1所截部分的面积求抛物柱面y=\sqrt{x}被平面z=0,z=y和y=1所截部分的面积求抛物柱面y=x被平面z=0,z=y和y=1所截部分的面积
我是投影到xOzxOzxOz面来算的
S=∬dS=∬dxdzcosβS=\iint dS=\iint \frac{dxdz}{cos\beta}S=∬dS=∬cosβdxdz

而cosβ=FyFx2+Fy2+Fz2cos\beta=\frac{F_y}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}cosβ=Fx2+Fy2+Fz2Fy

∵y=x⇒x−y2=0\because y=\sqrt{x}\Rightarrow x-y^2=0∵y=x⇒x−y2=0

∴{Fx=1Fy=−2yFz=0\therefore \left\{\begin{matrix} F_x=1\\ \\ F_y=-2y\\ \\ F_z=0 \end{matrix}\right.∴⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧Fx=1Fy=−2yFz=0
∴cosβ=−2y1+4y2=−2x1+4x\therefore cos\beta=\frac{-2y}{\sqrt{1+4y^2}}=\frac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{1+4x}}∴cosβ=1+4y2−2y=1+4x−2x
∴S=∬1+4x−2xdxdz=∫01∫0x1+4x−2xdzdx=∫011+4x−2dx=−(55−1)12\therefore S=\iint\frac{\sqrt{1+4x}}{-2\sqrt{x}}dxdz=\int_0^1\int_0^{\sqrt{x}}\frac{\sqrt{1+4x}}{-2\sqrt{x}}dzdx=\int_0^1\frac{\sqrt{1+4x}}{-2}dx=\frac{-(5\sqrt{5}-1)}{12}∴S=∬−2x1+4xdxdz=∫01∫0x−2x1+4xdzdx=∫01−21+4xdx=12−(55−1)
但是为啥算出来是负的喃？
原来是我这里错了

F(x,y,z)=x−y2=0F(x,y,z)=x-y^2=0F(x,y,z)=x−y2=0要写成F(y,x,z)=y2−x=0F(y,x,z)=y^2-x=0F(y,x,z)=y2−x=0
把与投影面垂直的那个坐标轴弄成正的
所以应该是：
{Fx=−1Fy=2yFz=0\left\{\begin{matrix} F_x=-1\\ \\ F_y=2y\\ \\ F_z=0 \end{matrix}\right.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧Fx=−1Fy=2yFz=0
∴cosβ=FyFx2+Fy2+Fz2=2y1+4y2=2x1+4x\therefore cos\beta=\frac{F_y}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}=\frac{2y}{\sqrt{1+4y^2}}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{1+4x}}∴cosβ=Fx2+Fy2+Fz2Fy=1+4y22y=1+4x2x
∴S=∬dxdzcosβ=∬1+4x2xdxdz=∫01∫0x1+4x2xdzdx=∫011+4x2dx=(55−1)12\therefore S=\iint \frac{dxdz}{cos\beta}=\iint\frac{\sqrt{1+4x}}{2\sqrt{x}}dxdz=\int_0^1\int_0^{\sqrt{x}}\frac{\sqrt{1+4x}}{2\sqrt{x}}dzdx=\int_0^1\frac{\sqrt{1+4x}}{2}dx=\frac{(5\sqrt{5}-1)}{12}∴S=∬cosβdxdz=∬2x1+4xdxdz=∫01∫0x2x1+4xdzdx=∫0121+4xdx=12(55−1)

贴一个学姐写的正常的方法的时候

要不然记这个，简单一些，不分什么α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ了，θ\thetaθ就是与与投影面垂直的坐标轴的夹角
①：往xOyxOyxOy投影，函数要写成z=z(x,y)z=z(x,y)z=z(x,y)
cosθ=11+zx2+zy2cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}cosθ=1+zx2+zy21

①：往xOzxOzxOz投影，函数要写成y=y(x,z)y=y(x,z)y=y(x,z)
cosθ=11+yx2+yz2cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+y_x^2+y_z^2}}cosθ=1+yx2+yz21

①：往yOzyOzyOz投影，函数要写成x=x(y,z)x=x(y,z)x=x(y,z)
cosθ=11+xy2+xz2cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+x_y^2+x_z^2}}cosθ=1+xy2+xz21
方法二要牛皮一些，是用的几何意义来的

S=∫yds=∫x1+(12x)2dxS=\int yds=\int \sqrt{x}\sqrt{1+(\frac{1}{2\sqrt{x}})^2}dxS=∫yds=∫x1+(2x1)2dx

7.18

曲线L:{x=etcosty=etsintz=2et,t∈(−∞,0),线密度μ=x2+y2+z2曲线L:\left\{\begin{matrix} x=e^tcost\\ \\ y=e^tsint\\ \\ z=\sqrt{2}e^t \end{matrix}\right.,t\in(-\infty,0),线密度\mu=x^2+y^2+z^2曲线L:⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x=etcosty=etsintz=2et,t∈(−∞,0),线密度μ=x2+y2+z2
(2)求曲线L对z轴的转动惯量J(2)求曲线L对z轴的转动惯量J(2)求曲线L对z轴的转动惯量J
转动惯量有点忘记了，而且以前不是用III表示的嘛，I=mr2I=mr^2I=mr2
∴dJ=r2dm\therefore dJ=r^2dm∴dJ=r2dm

J=∫r2dm=∫(x2+y2)μds=∫−∞0e2t⋅3e2t⋅4e2tdt=65J=\int r^2dm=\int(x^2+y^2)\mu ds=\int_{-\infty}^0e^{2t}\cdot3e^{2t}\cdot\sqrt{4e^{2t}}dt=\frac{6}{5}J=∫r2dm=∫(x2+y2)μds=∫−∞0e2t⋅3e2t⋅4e2tdt=56
(3)求曲线L对位于原点质量为m的质点的引力(引力常数为k)(3)求曲线L对位于原点质量为m的质点的引力(引力常数为k)(3)求曲线L对位于原点质量为m的质点的引力(引力常数为k)
这题我一拿到就写dF=kmdmr2⇒F=∫kmμdsr2而刚好μ和r2约掉就变成km∫ds=2kmdF=\frac{kmdm}{r^2}\Rightarrow F=\int\frac{km\mu ds}{r^2}而刚好\mu和r^2约掉就变成km\int ds=2kmdF=r2kmdm⇒F=∫r2kmμds而刚好μ和r2约掉就变成km∫ds=2km
结果一看答案，他咋x,y,z分开算的喃？
{Fx=F⋅cosαFy=F⋅cosβFz=F⋅cosγ\left\{\begin{matrix} Fx=F\cdot cos\alpha\\ \\ F_y=F\cdot cos\beta \\ \\ F_z=F\cdot cos\gamma \end{matrix}\right.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧Fx=F⋅cosαFy=F⋅cosβFz=F⋅cosγ
Fx=∫kmμx2+y2+z2⋅xx2+y2+z2ds=∫km⋅xx2+y2+z2dsF_x=\int\frac{km\mu}{x^2+y^2+z^2}\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}ds=\int km\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dsFx=∫x2+y2+z2kmμ⋅x2+y2+z2xds=∫km⋅x2+y2+z2xds
同样的道理来算Fy,FzF_y,F_zFy,Fz

答案最后算出来F=km3(i−j+22k)F=\frac{km}{\sqrt{3}}(i-j+2\sqrt{2}k)F=3km(i−j+22k)

怎么合成起来跟我的2km2km2km不相等喃？？？
有童鞋说可能是曲线是绕原点回转的，引力可能抵消，因此要用矢量来算，而我那种就算不出抵消的
确实是绕原点有回转

第一类曲面积分

基础知识

F(x,y,z)=0F ( x , y , z ) = 0F(x,y,z)=0
他的法向量：
n⃗=(Fx,Fy,Fz)\vec n = \left( F _ { x } , F _ { y } ,F _ { z } \right)n=(Fx,Fy,Fz)
这个法向量与XXX轴的夹角就是α\alphaα
其中FxF_xFx表示对xxx求偏导
cos⁡α=FxFx2+Fy2+Fz2\cos \alpha = \frac { F _ { x } } { \sqrt { F _ { x } ^ { 2 } + F _ { y } ^ 2+ F _ { z } ^ { 2 } } }cosα=Fx2+Fy2+Fz2Fx
dS=cosα⋅dydzdS=cos\alpha \cdot dydzdS=cosα⋅dydz
cosβ,cos⁡γ同理cos\beta,\cos \gamma同理cosβ,cosγ同理

7.20【形心坐标化简】

球面(x−1)2+y2+(z+1)2=1,求∬(2x+3y+z)dS球面(x-1)^2+y^2+(z+1)^2=1,求\iint(2x+3y+z)dS球面(x−1)2+y2+(z+1)2=1,求∬(2x+3y+z)dS
我就说会有简便方法嘛，这才第二题啊，而且暴力算的话感觉很麻烦，这只是道选择题鸭，想了好久，都没有发现，结果又是用的形心的那个
因为是求，所以(x‾,y‾,z‾)=(1,0,−1)(\overline x,\overline y,\overline z)=(1,0,-1)(x,y,z)=(1,0,−1)
∬xdS=x‾⋅S=1⋅4π\iint xdS=\overline x\cdot S=1\cdot4\pi∬xdS=x⋅S=1⋅4π

∬ydS=y‾⋅S=0⋅4π\iint ydS=\overline y\cdot S=0\cdot4\pi∬ydS=y⋅S=0⋅4π

∬zdS=z‾⋅S=−1⋅4π\iint zdS=\overline z\cdot S=-1\cdot4\pi∬zdS=z⋅S=−1⋅4π

7.29

定球半径a,圆心在原点,动球半径R,圆心在定球表面(0<R<2a),问R为多少时,定球内的动球面积最大？定球半径a,圆心在原点,动球半径R,圆心在定球表面(0<R<2a),问R为多少时,定球内的动球面积最大？定球半径a,圆心在原点,动球半径R,圆心在定球表面(0<R<2a),问R为多少时,定球内的动球面积最大？

我把动球放在了zzz轴上，圆心在(0,0,−a)(0,0,-a)(0,0,−a)，方程为x2+y2+(z+a)2=R2x^2+y^2+(z+a)^2=R^2x2+y2+(z+a)2=R2
所以在球内的面上半面z=−a+R2−x2−y2z=-a+\sqrt{R^2-x^2-y^2}z=−a+R2−x2−y2
定球为：x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2x2+y2+z2=a2
S=∬dS=∬1+zx2+zy2dxdy=∬R2R2−x2−y2dxdyS=\iint dS=\iint\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy=\iint \sqrt{\frac{R^2}{R^2-x^2-y^2}}dxdyS=∬dS=∬1+zx2+zy2dxdy=∬R2−x2−y2R2dxdy
再来确定上下限
两个方程联立消掉zzz得到投影在xOyxOyxOy面的方程
这个消也要考点技术
{①：x2+y2+z2=a2②：x2+y2+z2+2az+a2=R2\left\{\begin{matrix} ①：x^2+y^2+z^2=a^2\\ \\ ②：x^2+y^2+z^2+2az+a^2=R^2 \end{matrix}\right.⎩⎨⎧①：x2+y2+z2=a2②：x2+y2+z2+2az+a2=R2
把①带到②里面：a2+2az+a2=R2⇒z=R22a−aa^2+2az+a^2=R^2\Rightarrow z=\frac{R^2}{2a}-aa2+2az+a2=R2⇒z=2aR2−a
在把zzz带回①得到：
x2+y2=a2−z2=a2−(R22a−a)2=R2−R44a2x^2+y^2=a^2-z^2=a^2-(\frac{R^2}{2a}-a)^2=R^2-\frac{R^4}{4a^2}x2+y2=a2−z2=a2−(2aR2−a)2=R2−4a2R4
所以投影圆的半径就是R0=R2−R44a2R_0=\sqrt{R^2-\frac{R^4}{4a^2}}R0=R2−4a2R4
然后求出来求导找最值就阔以了

第二类曲线积分

7.30【凑全微分】

l为(0,0)到(π,0)沿sinx的有向弧段,求I=∫[excosy+2(x+y)]dx+[−exsiny+32x]dyl为(0,0)到(\pi,0)沿sinx的有向弧段,求I=\int[e^xcosy+2(x+y)]dx+[-e^xsiny+\frac{3}{2}x]dyl为(0,0)到(π,0)沿sinx的有向弧段,求I=∫[excosy+2(x+y)]dx+[−exsiny+23x]dy
我还说这道题肯定是那种与路径无关的题呢，不然好难算哦，结果。。。别人观察出了凑全微分
令I1=∫[excosydx−exsinydy]=∫d(exsiny)I_1=\int[e^xcosydx-e^xsinydy]=\int d(e^xsiny)I1=∫[excosydx−exsinydy]=∫d(exsiny)
这大坨就好算得多了

7.41

f(x,y)在全平面有连续偏导数,曲线积分∫Lf(x,y)dx+xcosydy在全平面内与路径无关,且∫(0,0)(t,t2)f(x,y)dx+xcosydy=t2,求f(x,y)f(x,y)在全平面有连续偏导数,曲线积分\int_Lf(x,y)dx+xcosydy在全平面内与路径无关,且\int_{(0,0)}^{(t,t^2)}f(x,y)dx+xcosydy=t^2,求f(x,y)f(x,y)在全平面有连续偏导数,曲线积分∫Lf(x,y)dx+xcosydy在全平面内与路径无关,且∫(0,0)(t,t2)f(x,y)dx+xcosydy=t2,求f(x,y)
这道题王总还问过我的，她的那个上面没说与路径无关，就只说了"f(x,y)有一阶连续偏导数f(x,y)有一阶连续偏导数f(x,y)有一阶连续偏导数"，这个能说明与路径无关嘛？不知道诶ヽ(ー_ー)ノ

与路径无关偏导相等能推出:cosy=fy(x,y)⇒f(x,y)=siny+C(x):cosy=f_y(x,y)\Rightarrow f(x,y)=siny+C(x):cosy=fy(x,y)⇒f(x,y)=siny+C(x)
然后再带进所给的条件
然后就是一个考点：
sinydx+xcosydy=d(xsiny)sinydx+xcosydy=d(xsiny)sinydx+xcosydy=d(xsiny)是个全微分阔以算出来的
然后就是得到t2=tsint2−∫0tA(x)dxt^2=tsint^2-\int_0^tA(x)dxt2=tsint2−∫0tA(x)dx
然后求个导就能得到C(t)C(t)C(t)，然后f(x,y)f(x,y)f(x,y)就出来了

7.47

曲线L:x2+y2=R2正向一周,n→为外法线方向,u(x,y)具有二阶偏导且∂2u∂x2+∂2u∂y2=x2+y2,求∮∂u∂n→ds曲线L:x^2+y^2=R^2正向一周,\overrightarrow n为外法线方向,u(x,y)具有二阶偏导且\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=x^2+y^2,求\oint\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow n}ds曲线L:x2+y2=R2正向一周,n为外法线方向,u(x,y)具有二阶偏导且∂x2∂2u+∂y2∂2u=x2+y2,求∮∂n∂uds

这道题要注意的是切向量τ→才等于(cosθ,sinθ)\overrightarrow \tau才等于(cos\theta,sin\theta)τ才等于(cosθ,sinθ)
法向量n→要顺时针转π2,n→=(sinθ,−cosθ)\overrightarrow n要顺时针转\frac{\pi}{2},\overrightarrow n=(sin\theta,-cos\theta)n要顺时针转2π,n=(sinθ,−cosθ)
然后∂u∂n→ds=[∂u∂xsinθ−∂u∂ycosθ]ds=∂u∂xdy+∂u∂ydx\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow n}ds=[\frac{\partial u}{\partial x}sin\theta-\frac{\partial u}{\partial y}cos\theta]ds=\frac{\partial u}{\partial x}dy+\frac{\partial u}{\partial y}dx∂n∂uds=[∂x∂usinθ−∂y∂ucosθ]ds=∂x∂udy+∂y∂udx
然后就用格林公式化成二重积分

{ds投影到x轴→dx=ds⋅cosθds投影到y轴→dy=ds⋅sinθ\left\{\begin{matrix} ds投影到x轴\to dx=ds\cdot cos\theta\\ \\ ds投影到y轴\to dy=ds\cdot sin\theta \end{matrix}\right.⎩⎨⎧ds投影到x轴→dx=ds⋅cosθds投影到y轴→dy=ds⋅sinθ
但是
{x=rcosθy=rsinθ→{dx=−rsinθdθdx=rcosθdθ而rdr=ds→{dx=−sinθdsdy=cosθds\left\{\begin{matrix} x=rcos\theta\\ \\ y=rsin\theta \end{matrix}\right.\to\left\{\begin{matrix} dx=-rsin\theta d\theta\\ \\dx=rcos\theta d\theta \end{matrix}\right.而rdr=ds\to\left\{\begin{matrix} dx=-sin\theta ds\\ \\ dy=cos\theta ds \end{matrix}\right.⎩⎨⎧x=rcosθy=rsinθ→⎩⎨⎧dx=−rsinθdθdx=rcosθdθ而rdr=ds→⎩⎨⎧dx=−sinθdsdy=cosθds
哪里有问题？

第二类曲面积分

第二类曲面积分对称性与其他积分的区别

第一类曲面积分和以往的一样都是偶倍奇零

但是第二类曲面积分对称性却是反过来的：

怎么理解喃？第一类曲面积分的感觉就是正常积分的感觉，就是求曲面质量，因为奇函数的性质，坐标轴正的这边函数就是正的，坐标轴负的这边函数就是负的，因此两个加起来就抵消了

而曲面坐标积分的意义是穿过这个曲面的流量，在计算坐标轴负的这边的时候，是反着穿过面的，因此，一下正着穿，一下反着穿，偶函数两边长得还一样，相当于没穿

7.510（计算比较复杂）

I=∬xdydz+ydxdz+zdxdyx2+(y−1)2+z2,Σ:x2+y2+z2=4(z≥0)取上侧I=\iint\frac{xdydz+ydxdz+zdxdy}{\sqrt{x^2+(y-1)^2+z^2}},\Sigma:x^2+y^2+z^2=4(z\geq0)取上侧I=∬x2+(y−1)2+z2xdydz+ydxdz+zdxdy,Σ:x2+y2+z2=4(z≥0)取上侧
这道题的被积函数很复杂，而曲面积分因为所有的点都在边界方程上，所以是阔以代入边界条件的
所以要化简一哈：I=∬xdydz+ydxdz+zdxdy5−2yI=\iint\frac{xdydz+ydxdz+zdxdy}{\sqrt{5-2y}}I=∬5−2yxdydz+ydxdz+zdxdy
①：补面用高斯公式来算
求导后因为被积函数是关于y的一个很丑的函数，所以要换积分次序，把y弄到最后算，过程比较复杂
②：转换坐标变量

感觉这道题要是考试的话会算的丧失信心T_T

7.56（打星）

I=∭(x∂f∂x+y∂f∂y+z∂f∂z)dxdydz,且满足∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2=x2+y2+z2I=\iiint(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{\partial f}{\partial z})dxdydz,且满足\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}I=∭(x∂x∂f+y∂y∂f+z∂z∂f)dxdydz,且满足∂x2∂2f+∂y2∂2f+∂z2∂2f=x2+y2+z2
终于有道很牛皮的题了~
本来一看，就是感觉可能是高斯公式反过来，但是，诶，积分积不动得哇

然后答案可真牛皮，是这样做的

首先令Q=∬∂f∂xdydz+∂f∂xdxdz+∂f∂xdxdy是阔以通过高斯公式=∭∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2dv=∭x2+y2+z2dv=π首先令Q=\iint \frac{\partial f}{\partial x}dydz+\frac{\partial f}{\partial x}dxdz+\frac{\partial f}{\partial x}dxdy是阔以通过高斯公式=\iiint\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}dv=\iiint\sqrt{x^2+y^2+z^2}dv=\pi首先令Q=∬∂x∂fdydz+∂x∂fdxdz+∂x∂fdxdy是阔以通过高斯公式=∭∂x2∂2f+∂y2∂2f+∂z2∂2fdv=∭x2+y2+z2dv=π

然后Q=∬1⋅∂f∂xdydz+1⋅∂f∂xdxdz+1⋅∂f∂xdxdy通过带入边界条件阔以变成=∬(x2+y2+z2)∂f∂xdydz+(x2+y2+z2)∂f∂xdxdz+(x2+y2+z2)∂f∂xdxdy然后Q=\iint 1\cdot\frac{\partial f}{\partial x}dydz+1\cdot\frac{\partial f}{\partial x}dxdz+1\cdot\frac{\partial f}{\partial x}dxdy通过带入边界条件阔以变成=\iint (x^2+y^2+z^2)\frac{\partial f}{\partial x}dydz+(x^2+y^2+z^2)\frac{\partial f}{\partial x}dxdz+(x^2+y^2+z^2)\frac{\partial f}{\partial x}dxdy然后Q=∬1⋅∂x∂fdydz+1⋅∂x∂fdxdz+1⋅∂x∂fdxdy通过带入边界条件阔以变成=∬(x2+y2+z2)∂x∂fdydz+(x2+y2+z2)∂x∂fdxdz+(x2+y2+z2)∂x∂fdxdy

然后这个式子再用高斯公式=2∭(x∂f∂x+y∂f∂y+z∂f∂z)dv+∭(x2+y2+z2)(∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2)dv然后这个式子再用高斯公式=2\iiint (x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{\partial f}{\partial z})dv+\iiint(x^2+y^2+z^2)(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2})dv然后这个式子再用高斯公式=2∭(x∂x∂f+y∂y∂f+z∂z∂f)dv+∭(x2+y2+z2)(∂x2∂2f+∂y2∂2f+∂z2∂2f)dv
令P=∭(x2+y2+z2)32dv=23πP=\iiint(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}dv=\frac{2}{3}\piP=∭(x2+y2+z2)23dv=32π
∴Q=2I+P⇒I=π6\therefore Q=2I+P\Rightarrow I=\frac{\pi}{6}∴Q=2I+P⇒I=6π

这道题带入边界很关键，跟以前不同，反着代的
而且通过所给的已知条件来计算，计算过程中会产生答案，然后把答案反解出来，好牛皮T_T

场论

基础知识

方向导数沿梯度方向升高最快

7.65

u(x,y)=50−x2−4x2,问u(1,−2)沿什么方向升高最快，并求这条路径u(x,y)=50-x^2-4x^2,问u(1,-2)沿什么方向升高最快，并求这条路径u(x,y)=50−x2−4x2,问u(1,−2)沿什么方向升高最快，并求这条路径
因为方向导数沿梯度方向升高最快
所以▽u=(−2x,−8y)⇒沿(−2,16)方向最快\triangledown u=(-2x,-8y)\Rightarrow 沿(-2,16)方向最快▽u=(−2x,−8y)⇒沿(−2,16)方向最快

然后就是个关键的了，求这个路径
相当于两个向量平行(dx,dy)∥(−2x,−8y)⇒dx−2x=dy−8y(dx,dy)\parallel (-2x,-8y)\Rightarrow \frac{dx}{-2x}=\frac{dy}{-8y}(dx,dy)∥(−2x,−8y)⇒−2xdx=−8ydy
然后y(1)=−2y(1)=-2y(1)=−2解出常数就行了

7.66

求a,b,c使得f(x,y,z)=axy2+byz+cx3z2在(1,2,−1)处沿z轴正向的方向导数有最大值64求a,b,c使得f(x,y,z)=axy^2+byz+cx^3z^2在(1,2,-1)处沿z轴正向的方向导数有最大值64求a,b,c使得f(x,y,z)=axy2+byz+cx3z2在(1,2,−1)处沿z轴正向的方向导数有最大值64
▽u(1,2,−1)=(4a+3c,4a−b,2b−2c)\triangledown u(1,2,-1)=(4a+3c,4a-b,2b-2c)▽u(1,2,−1)=(4a+3c,4a−b,2b−2c)
很明显能看出一个方程，就是沿zzz轴的方向导数为64
∴(4a+3c,4a−b,2b−2c)⋅(0,0,1)=64⇒2b−2c=64\therefore (4a+3c,4a-b,2b-2c)\cdot(0,0,1)=64\Rightarrow 2b-2c=64∴(4a+3c,4a−b,2b−2c)⋅(0,0,1)=64⇒2b−2c=64

还差两个方程喃？

还有一个条件是最大值，那么梯度的模就等于方向导数的值

∴(4a+3c)2+(4a−b)2+642=64\therefore \sqrt{(4a+3c)^2+(4a-b)^2+64^2}=64∴(4a+3c)2+(4a−b)2+642=64
这儿里面其实有两个方程，所以就能解了