【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序 | 有序 | 允许重复 | 不允许重复 | 无序不重复拆分 | 无序重复拆分 )
文章目录
- 一、正整数拆分
- 二、无序拆分
- 1、无序拆分 不允许重复
- 2、无序拆分 允许重复
参考博客 :
- 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
- 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
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- 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 2 | 扩展到整数解 )
一、正整数拆分
正整数拆分 涉及内容 :
- 拆分定义与分类
- 无序拆分
- 有序拆分
一个正整数可以 拆分成若干正整数 的和 , 每种不同的拆分方法 , 就可以 看做一个方案 ;
按照拆分顺序进行分类 : 444 拆分成 111 和 333 , 444 拆分成 333 和 111 ;
- 有序拆分 : 上述 222 个 正整数拆分 , 是 两种不同的拆分方法 ;
- 无序拆分 : 上述 222 个 正整数拆分 , 是 同一种拆分方法 ;
按照是否重复进行分类 :
- 允许重复 : 拆分时 , 允许拆分成若干个重复的正整数 , 如 333 拆分成 333 个 111 ;
- 不允许重复 : 拆分时 , 拆分的正整数 不允许重复 , 如 333 拆分成 333 个 111 是错误的 , 只能拆分成 1,21,21,2 ;
正整数拆分可以按照性质 , 分为 444 类 ;
- 有序重复
- 有序不重复
- 无序重复
- 无序不重复
二、无序拆分
无序拆分基本模型 :
将 正整数 NNN 无序拆分成正整数 , a1,a2,⋯,ana_1, a_2, \cdots , a_na1,a2,⋯,an 是拆分后的 nnn 个数 ,
该拆分是无序的 , 上述拆分的 nnn 个数的个数可能是不一样的 ,
假设 a1a_1a1 有 x1x_1x1 个 , a2a_2a2 有 x2x_2x2 个 , ⋯\cdots⋯ , ana_nan 有 xnx_nxn 个 , 那么有如下方程 :
a1x1+a2x2+⋯+anxn=Na_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = Na1x1+a2x2+⋯+anxn=N
这种形式可以使用 不定方程非负整数解个数 的生成函数计算 , 是 带系数 , 带限制条件的情况 , 参考 : 组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )
无序拆分的情况下 , 拆分后的正整数 , 允许重复 和 不允许重复 , 是两类组合问题 ;
如果不允许重复 , 那么这些 xix_ixi 的取值 , 只能 取值 0,10, 10,1 ; 相当于 带限制条件 , 带系数 的 不定方程非负整数解 的情况 ;
如果 允许重复 , 那么这些 xix_ixi 的取值 , 就是 自然数 ; 相当于 带系数 的 不定方程非负整数解 的情况 ;
1、无序拆分 不允许重复
讨论 无序拆分 , 不允许重复的情况 , 该方式 等价于 带限制条件 , 带系数 的 不定方程非负整数解 的情况 ;
a1a_1a1 项对应的生成函数项 , x1x_1x1 取值 0,10,10,1 , 则对应的生成函数项是 (ya1)0+(ya1)1=1+ya1(y^{a_1})^{0} + (y^{a_1})^{1}= 1+ y^{a_1}(ya1)0+(ya1)1=1+ya1
a2a_2a2 项对应的生成函数项 , x2x_2x2 取值 0,10,10,1 , 则对应的生成函数项是 (ya2)0+(ya2)1=1+ya2(y^{a_2})^{0} + (y^{a_2})^{1}= 1+ y^{a_2}(ya2)0+(ya2)1=1+ya2
⋮\vdots⋮
ana_nan 项对应的生成函数项 , xnx_nxn 取值 0,10,10,1 , 则对应的生成函数项是 (yan)0+(yan)1=1+yan(y^{a_n})^{0} + (y^{a_n})^{1}= 1+ y^{a_n}(yan)0+(yan)1=1+yan
将上述生成函数项相乘 , 则可得到完整生成函数 :
G(x)=(1+ya1)(1+ya2)⋯(1+yan)G(x) = (1+ y^{a_1}) (1+ y^{a_2}) \cdots (1+ y^{a_n})G(x)=(1+ya1)(1+ya2)⋯(1+yan)
将上述生成函数写好之后 , 计算 展开 , yyy 的 NNN 次幂的系数 , 就是 正整数 NNN 的拆分方案数 ;
2、无序拆分 允许重复
讨论 无序拆分 , 允许重复的情况 , 该方式 等价于 不带限制条件 , 带系数 的 不定方程非负整数解 的情况 ;
a1a_1a1 项对应的生成函数项 , x1x_1x1 取值 0,1,⋯0,1, \cdots0,1,⋯ , 则对应的生成函数项是 (ya1)0+(ya1)1+(ya1)2=1+ya1+y2a1⋯(y^{a_1})^{0} + (y^{a_1})^{1} + (y^{a_1})^{2}= 1+ y^{a_1} + y^{2a_1}\cdots(ya1)0+(ya1)1+(ya1)2=1+ya1+y2a1⋯
a2a_2a2 项对应的生成函数项 , x2x_2x2 取值 0,1,⋯0,1, \cdots0,1,⋯ , 则对应的生成函数项是 (ya2)0+(ya2)1+(ya2)2=1+ya2+y2a2⋯(y^{a_2})^{0} + (y^{a_2})^{1} + (y^{a_2})^{2}= 1+ y^{a_2} + y^{2a_2}\cdots(ya2)0+(ya2)1+(ya2)2=1+ya2+y2a2⋯
⋮\vdots⋮
ana_nan 项对应的生成函数项 , xnx_nxn 取值 0,1,⋯0,1, \cdots0,1,⋯ , 则对应的生成函数项是 (yan)0+(yan)1+(yan)2=1+yan+y2an⋯(y^{a_n})^{0} + (y^{a_n})^{1} + (y^{a_n})^{2}= 1+ y^{a_n} + y^{2a_n}\cdots(yan)0+(yan)1+(yan)2=1+yan+y2an⋯
将上述生成函数项相乘 , 则可得到完整生成函数 :
G(x)=(1+ya1+y2a1⋯)(1+ya2+y2a2⋯)⋯(1+yan+y2an⋯)G(x) = (1+ y^{a_1}+ y^{2a_1}\cdots) (1+ y^{a_2} + y^{2a_2}\cdots) \cdots (1+ y^{a_n}+ y^{2a_n}\cdots )G(x)=(1+ya1+y2a1⋯)(1+ya2+y2a2⋯)⋯(1+yan+y2an⋯)
上述生成函数可以根据 如下生成函数的常用取值 :
{an}\{a_n\}{an} , an=1na_n = 1^nan=1n ; A(x)=∑n=0∞xn=11−x\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \end{aligned}A(x)=n=0∑∞xn=1−x1
将 1+ya1+y2a1⋯1+ y^{a_1}+ y^{2a_1}\cdots1+ya1+y2a1⋯ 中的 ya1y^{a_1}ya1 换元成 xxx , 则可得到
1+x+x2+x3+⋯1 + x + x^2 + x^3 + \cdots1+x+x2+x3+⋯
对应的数列是 1n1^n1n
则上述 1+ya1+y2a1⋯=11−ya11+ y^{a_1}+ y^{2a_1}\cdots =\cfrac{1}{1-y^{a_1}}1+ya1+y2a1⋯=1−ya11
最终化简结果 :
G(x)=(1+ya1+y2a1⋯)(1+ya2+y2a2⋯)⋯(1+yan+y2an⋯)G(x) = (1+ y^{a_1}+ y^{2a_1}\cdots) (1+ y^{a_2} + y^{2a_2}\cdots) \cdots (1+ y^{a_n}+ y^{2a_n}\cdots )G(x)=(1+ya1+y2a1⋯)(1+ya2+y2a2⋯)⋯(1+yan+y2an⋯)
=1(1−ya1)(1−ya2)⋯(1−yan)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\cfrac{1}{ (1-y^{a_1}) (1-y^{a_2}) \cdots (1-y^{a_n}) } =(1−ya1)(1−ya2)⋯(1−yan)1
将上述生成函数写好之后 , 计算 展开 , yyy 的 NNN 次幂的系数 , 就是 正整数 NNN 的拆分方案数 ;
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