1、字符串基础

1.1 字符集

一个字符集 $\sum$ 是一个建立了全序关系的集合，也就是说 $\sum$ 中的任意两个不两只的元素 $\alpha$ 和 $\beta$ 都可以比较大小，要么 $\alpha < \beta$ ,要么 $\beta < \alpha$ 。字符集 $\sum$ 中的元素称为字符。

1.2 字符串

一个字符串S是将n个字符顺次排列形成的序列，n称为S的长度，表示为 $|S|$ 。S的第i个字符表示为S[i]。

1.3 子串

字符串S的子串S[i..j]， $i \leq j$ ，表示S串中从i到j这一段，也就是顺次排列S[i], S[i+1],...,S[j]形成的字符串。

1.4 子序列

字符串S的子序列是从S中将若干元素提取出来并不改变相对位置形成的序列，即 $S[p_1],S[p_2],...,S[p_k]$ ， $1 \textless p_1 \textless p_2 \textless \cdots \textless p_k \leq |S|$

1.5 后缀

后缀是指从某个位置i开始到整个串末尾结束的一个特殊子串。字符串S的从i开头的后缀表示为Suffix(S,i)，也就是Suffix(S,i) = S[i..|S|-1]。

真后缀指除了S本身的S的后缀。

举例来说，字符串 abcabcd 的所有后缀为 {d, cd, bcd, abcd, cabcd, bcabcd, abcabcd}，而它的真后缀为 {d, cd, bcd, abcd, cabcd, bcabcd}。

1.6 前缀

前缀是指从串首开始到某个位置i结束的一个特殊子串。字符串S的以i结尾的前缀表示为Prefix(S,i)，也就是Prefix(S,i)=S[0..i]。

真前缀指除了S本身的S的前缀。

举例来说，字符串 abcabcd 的所有前缀为 {a, ab, abc, abca, abcab, abcabc, abcabcd}, 而它的真前缀为 {a, ab, abc, abca, abcab, abcabc}。

1.7 字典序

以第i个字符作为第i关键字进行大小比较，空字符小于字符集内任何字符(即 $a \textless aa$ ）

1.8 回文串

回文串是正着写和倒着写相同的字符串。即满足 $\forall 1 \leq i \leq |s|,s[i] =s[|s| + 1 - i]$ 的s。

2、前缀函数

给定一个长度为n的字符串s，其前缀函数被定义为一个长度为n的数组 $\pi$ 。其中 $\pi[i]$ 的定义是

如果子串s[0..i]有一对相等的真前缀与真后缀：s[0...k-1]和s[i-(k-1)...i]，那么 $\pi[i]$ 就是这个相等的真前缀的长度，也就是 $\pi[i]=k$
如果不止有一对相等的，那么 $\pi[i]$ 就是其中最长的那一对的长度。
如果没有相等的，那么 $\pi[i]=0$

简单来说 $\pi[i]$ 就是子串s[0...i]最长的相等的真前缀与真后缀的长度。

有数学语言描述如下

$\pi[i]=\max \limits_{k=0...i}\{k=s[0..k-1]=s[i-(k-1)...i]\}$

特别地，规定 $\pi[0]=0$

2.1 朴素算法

按照定义计算前缀函数的算法流程

在一个循环中以 $i=1\rightarrow n-1$ 的顺序计算前缀函数 $\pi[i]$ 的值( $\pi[0]=0$ )
为了计算当前的前缀函数值 $\pi[i]$ ，令变量j从最大的真前缀长度i开始尝试。
如果当前长度下真前缀与真后缀相等，则此时长度为 $\pi[i]$ ,否则令j自减1，继续匹配，直到 $j=0$
如果 $j=0$ 并且仍没有任何一次匹配，则置 $\pi[i]$ =0，并移至下一个下标 $i+1$

实现如下：

vector<int> prefix_function(string s) {int n = (int)s.length();vector<int> pi(n);for (int i = 1; i < n; i++)for (int j = i; j >= 0; j--)if (s.substr(0, j) == s.substr(i - j + 1, j)) {pi[i] = j;break;}return pi;
}

2.2 优化算法一

基于相邻的前缀函数值至多增加1。

当相邻前缀函数值增加时，即 $\pi[i+1]$ 比 $\pi[i]$ 多1时，满足 $s[i+1]=s[\pi[i]]$ 。所以当移到到下一个位置时，前缀函数的值要么增加1，要么维持不变，要么减少。

改进算法为

vector<int> prefix_function(string s) {int n = (int)s.length();vector<int> pi(n);for (int i = 1; i < n; i++)for (int j = pi[i - 1] + 1; j >= 0; j--)  // improved: j=i => j=pi[i-1]+1if (s.substr(0, j) == s.substr(i - j + 1, j)) {pi[i] = j;break;}return pi;
}

2.3 优化算法二

当 $s[i+1] \neq s[\pi[i]]$ 时

失配时，对于子串s[0...i]，仅次于 $\pi[i]$ 的第二长度j，使得在位置i的前缀性质仍得以保持，即 $s[0...j-1]=s[i-j+1...i]$ 。如果找到了这样的长度j,那么仅需要再次比较s[i+1]和s[j]。如果它们相等，那么有 $\pi[i+1]=j+1$ 。否则，需要找到子串s[0...i]仅次于j的第二长度 $j^{(2)}$ ，使得前缀性质得以保持，如此反复，直到j=0。如果 $s[i+1] \neq s[0]$ ，则 $\pi[i+1] = 0$ 。

对于第二长度j，因为 $s[0...\pi[i]-1]=s[i-\pi[i]+1...i]$ ，有 $s[0..j-1]=s[i-j+1...i]=s[\pi[i]-j...\pi[i]-1]$ 。也就是说j等价于子串 $s[\pi[i]-1]$ 的前缀函数值，即 $j=\pi[\pi[i]-1]$ 。同理将于j的第二长度等价于s[j-1]的前缀函数值，即 $j^{2}=\pi[j - 1]$ 。关于j的状态转移方法为 $j^{n}=\pi[j^{n-1}-1]$ , $j^{n-1} \textgreater 0$

改进算法为：

vector<int> prefix_function(string s) {int n = (int)s.length();vector<int> pi(n);for (int i = 1; i < n; i++) {int j = pi[i - 1];while (j > 0 && s[i] != s[j]) j = pi[j - 1];if (s[i] == s[j]) j++;pi[i] = j;}return pi;
}

3、应用

3.1 字符串周期

对于字符串s和 $0 \textless p \leq |s|$ ，若s[i] = s[i+p]对所有 $i \in \left[0, |s| - p - 1 \right ]$ 成立，则称p为s的周期。

对于字符串s和 $0 \le r \textless |s|$ ，若s长度为r的前缀和长度为r的后缀相等，就称s长度为r的前缀是s的border，则|s|-r是s的周期。

3.2 字符串查找

在文本串与模式串匹配时，使用前缀函数，代码如下

private boolean kmpSearch(String pattern, String text, int[] pi) {int textLen = text.length();int patternLen = pattern.length();int ans = 0;int j = 0;for (int i = 0; i < textLen; i++) {while (j > 0 && text.charAt(i) != pattern.charAt(j)) {j = pi[j - 1];}if (pattern.charAt(j) == text.charAt(i)) {j++;}if (j == patternLen) {return true;}}return false;}

另外一种解法是构造s+#+t的串，计算其前缀函数，判断|s|+1到|s|+1+|t|之间的前缀函数值是否等于模式串的长度。

3.3 构造自动机

先计算前缀函数，根据字符集构造自动机

private int[][] computeAutomation(String pattern) {int n = pattern.length();int[][] aut = new int[n][N];int[] pi = prefixFunction(pattern);for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < N; j++) {if (i > 0 && 'a' + j != pattern.charAt(i)) {aut[i][j] = aut[pi[i - 1]][j];} else {aut[i][j] = i + (pattern.charAt(i) == 'a' + j ? 1 : 0);}}}return aut;}

3.4 前缀统计

根据前缀函数计算

int n = pattern.length();
int[] cnt = new int[n + 1];int[] pi = prefixFunction(pattern);
for (int i = 0; i < n; i++) {cnt[pi[i]]++;
}for (int i = n - 1; i > 0; i--) {cnt[pi[i - 1]] += cnt[i];
}for (int i = 0; i <= n; i++) {cnt[i]++;
}

LeetCode 686

455 Periodic Strings UVa

11022 String Factoring UVa

11452 Dancing the Cheeky-Cheeky UVa(kmp字符串周期)

12604 Caesar Cipher UVa (kmp查找)

12467 Secret Word UVa

11019 Matrix Matcher UVa (二维匹配问题)

Pattern Find SPOJ(字符口中匹配kmp)

Anthem of Berland codeforces(kmp+自动机+dp)

MUH and Cube Walls codeforces(kmp)

Prefixes and Suffixes codeforces(kmp+前缀统计)

参考资料：

字符串部分简介 - OI Wiki

https://cp-algorithms.com/

https://www-igm.univ-mlv.fr/~lecroq/ 字符串算法

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