算法-发明KMP算法的唐纳德·克努特是怎么想到失配函数next[j]的？

背景

字符串模式匹配，普通模式非常好理解，拿着模式串依次与主串做比较，知道完全匹配，但是这种算法，主串得不断地回溯，时间复杂度O(n*m)。

唐纳德·克努特

有没有降低时间复杂度的可能，唐纳德·克努特等人想到了一种办法不用使主串不停地回溯，而每次使模式串的某个字符与主串的待比较字符对齐，这个算法简称KMP。求解模式串的哪个字符该与这次比较的主串字符对齐，是KMP算法的核心，简称next函数或失配函数。这种算法求解复杂度降低到O（n+m）。

next函数语义

next[j]=k表达的意思是从模式串的 1~j-1 组成的子模式串，最长相同的前、后缀的长度为 k-1。举例说明，如下的字符串，next[6]=3，因为编号为6的字符c的最长前缀为编号为1的a ，编号为2的b 字符，最长后缀为编号为4的字符，编号为5的字符b，所以 k=3。

1	2	3	4	5	6	7	8
a	b	a	a	b	c	a	c

再看一下失配函数next[j]的严格定义，模式串字符的编码从1开始。

next函数分析

next 函数值仅取决于模式串本身而与相匹配的主串无关。从next函数的定义出发用递推的方法求next函数值。

由定义得知 next[1]=0，设next[j]=k，这表明在模式串中存在下列关系

"P1...Pk-1" = "Pj-k+1...Pj-1"

图形化显示（一条竖线表示一个字符）：

其中k为满足1 < k < j的某个值，并且不能存在k’ > k满足上个等式。此时 next[j+1]=? 分两种情况讨论，

1）若 Pk = Pj ，则 next[j+1] = next[j] + 1 ，即 k + 1 ，如下图显示：

2）若Pk不等于Pj，如下图所示，我们把如下字符，看成一个字符串，寻找它的最长相同的前、后缀：

"P1...Pj+1"

此时我们已知一个条件：

"P1...Pk-1" = "Pj-k+1...Pj-1"

也就是在上图中2个黄色区域表示的前、后缀字符串相等，这样我们依然在上图中的左侧黄色部分中寻找。最终找到了2块咖啡色区域 1~k’-1， k-k’+1~k-1 相等，根据next函数的定义，便是：

next[k]=k'

并且我们根据已知条件 ‘P1…Pk-1’ = ‘Pj-k+1…Pj-1’，可以推导出在右侧黄色区域也存在这样的咖啡色区域，根据等式传递，我们可以得出：

"P1...Pk'-1" = "Pj-k'+1...Pj-1"

因为Pj不等于Pk，所以我们新找出了一个k’（很显然1 < k’ < k），如果它真的满足了 Pj=Pk’，则 next[j+1] = k’ + 1 ，即 :

next[j+1] = next[k] + 1

如果它很遗憾地又不等于Pj，也没关系，我们继续在[1,k’]这个区间内找这样的K点，如果真的不存在这样的k’，那么根据定义可以得出：

next[j+1]=1

失配函数代码实现

        /// <summary>/// 失配函数/// </summary>/// <param name="p">模式字符串（编码从索引位置1开始）</param>/// <returns>模式字符串中每个字符的失配值数组</returns>private static int[] getNext(char[] p){int[] next = new int[p.Length];next[1] = 0;int j = 1;int k = 0;while (j < p.Length - 1){if (k == 0 || p[j] == p[k]){next[++j] = ++k; //上述分析中的k'+1赋值给next[j+1]}else{k = next[k]; //next[k]赋值给k，相当于上述分析中的k'}}return next;}

模拟分析

模拟失配函数求解的整个过程代码。

        static void Main(string[] args){string pattern = "abaabcac";char[] pcharsfrom1 = preOperate(pattern);Console.WriteLine();int[] next = getNextWithTest(pcharsfrom1);printf(next);Console.ReadLine();}

预处理字符串，将字符串整体后移1位

        /// <summary>/// 预处理字符串，将字符串整体后移1位/// </summary>/// <returns></returns>private static char[] preOperate(string pattern){char[] pchars = pattern.ToCharArray(0, pattern.Length);char[] pcharsfrom1 = new char[pchars.Length + 1];for (int i = pchars.Length; i > 0; i--)pcharsfrom1[i] = pchars[i - 1];return pcharsfrom1;}

        private static int[] getNextWithTest(char[] p){int[] next = new int[p.Length];next[1] = 0;int j = 1;int k = 0;printf(p);while (j < p.Length - 1){if (k != 0)Console.WriteLine("p[{0}]（{1}） == p[{2}]（{3}）??", j, p[j], k, p[k]);if (k == 0 || p[j] == p[k]){if (k == 0){++j;++k;next[j] = k;Console.WriteLine("根据k=0得出：p[{0}]={1}", j, k);Console.ForegroundColor = ConsoleColor.DarkGreen;Console.WriteLine("--------------------------------");Console.ForegroundColor = ConsoleColor.White;}else{++j;++k;next[j] = k;Console.WriteLine("根据p[j] == p[k]得出：p[{0}]={1}", j, k);Console.ForegroundColor = ConsoleColor.DarkGreen;Console.WriteLine("--------------------------------");Console.ForegroundColor = ConsoleColor.White;}}else{k = next[k];}}return next;}private static void printf<T>(T[] p){int eachlineCount = 10;for (int line = 0; line < p.Length / eachlineCount + 1; line++){for (int i = 0; i < eachlineCount && line * eachlineCount + i < p.Length; i++){Console.Write("  {0}  ", line * eachlineCount + i);}Console.Write("\n");for (int i = 0; i < eachlineCount && line * eachlineCount + i < p.Length; i++){if (line == 0)Console.Write("  {0}  ", p[line * eachlineCount + i]);else{Console.Write("   {0}  ", p[line * eachlineCount + i]);}}Console.Write("\n\n");}}

模拟结果展示：

源码下载：

http://download.csdn.net/detail/daigualu/9791023