【密码学02】密码系统原理及数学背景

上一篇文章【密码学】四大主题简单介绍一文提到要实现信息传输的保密性、完整性，以及身份鉴别和抗抵赖，使用的技术手段有：

1) 密码技术（加密与解密）。

2) 哈希技术，即散列技术。

3) 随机数。

4) 时间戳。

下面先讨论密码技术。

下图是一个典型的密码系统，展示了密码技术的应用场景：

明文：P 密文：C 加密密钥：K1 解密密钥：K2 加密方法：E 解密方法：D

加密与解密的关系可以用公式简洁地表示：

C = E_K1(P) 表示用加密密钥K1通过加密方法E对明文P进行加密得到密文C。

P = D_K2(C) 表示用解密密钥K2通过解密方法D对密文C进行解密得到明文P。

D_K2(E_K1(P)) = P 由上面两个式子可以得到这个式子。

由此可见，实际上，密码算法E和D都是数学函数。

关于密码学，有两个基本原则：

1) 消息必须包含一定的冗余度。

2) 必须采取措施对抗重放攻击。

另外，关于密码系统的设计，还有一个原则叫做Kerckhoff原则：

“密码算法必须公开，只有密钥需要保密。”

这个原则体现了一个思想：让入侵者知道密码算法没有关系，所有的秘密都隐藏在密钥中。对密码算法保密是不明智的，因为密码算法的设计很困难，一旦算法原理泄露了，必须得花费大量精力重新设计。但密钥可以随时更换。

每个密码算法，都有其数学背景，依赖某一种数学理论。下面是一些常见密码算法的数学理论依据：

1) 信息论

由香农(Claude Elmwood Shannon)于1948年创立的现代信息论为安全的密码系统定义了一个精确的数学模型。

2) 复杂性理论

复杂性理论提供了分析密码算法的“计算复杂性”的方法。它通过对密码算法进行比较，来确定一个密码算法的安全性。密码算法的“计算复杂性”通常用时间复杂度和空间复杂度两个变量来度量。

3) 数论

数论中的模运算、素数、最大公因子、求模逆元、费尔马定理、中国剩余定理、迦罗瓦域理论等等，是很多密码学算法的数学基础。

4) 因子分解

对一个数进行因子分解就是找出它的素数因子。因子分解是数论中最古老的问题，分解一个数很简单，却是一个耗时的过程。一些经典的因子分解算法有：数域筛选法、二次筛选法、椭圆曲线法等。

5) 计算有限域中的离散对数

计算离散对数是数学中公认的难题。计算离散对数与因子分解有紧密关系，如果能解决离散对数问题，就能解决因子分解问题。

转载于:https://www.cnblogs.com/hananbaum/archive/2008/12/05/1348004.html

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