平均数与标准方差

这两个数学概念大家都耳熟能详，九年义务教育都涵盖的内容.

假设有数组x， x1,x2,x3…xn, N 为数组的个数
公式如下：
μ=ΣxNσ=Σ(x−μ)2N\mu = \frac{\Sigma x} {N} \newline \newline \sigma = \frac{\Sigma (x-\mu)^2} {N} μ=NΣxσ=NΣ(x−μ)2

它也叫做一阶矩和二阶矩

高阶矩

三阶矩和四阶矩公式如下：
3rdmoment=1NΣ(x−μ)3σ34thmoment=1NΣ(x−μ)4σ43rdmoment = \frac {1} {N} \frac{\Sigma (x-\mu)^3} {\sigma^3} \newline \newline 4thmoment = \frac {1} {N} \frac{\Sigma (x-\mu)^4} {\sigma^4} 3rdmoment=N1σ3Σ(x−μ)34thmoment=N1σ4Σ(x−μ)4
其中μ\muμ为一阶矩，σ\sigmaσ为二阶矩

采样评估

很多时候，我们是无法全部统计所有数据的，所以x大多数为我们的采样数据。
此时的N也可能无法确认，我们只能确认的是采样个数n。

所以针对于采样的一阶到四阶的矩的公式如下：
1stmoment=Σxn2ndmoment=Σ(x−xˉ)2n−13rdmoment=n(n−1)(n−2)Σ(x−xˉ)3s34thmoment=n(n+1)(n−1)(n−2)(n−3)Σ(x−xˉ)4s4−3(n−1)2(n−2)(n−3)1stmoment = \frac{\Sigma x} {n} \newline \newline 2ndmoment = \frac{\Sigma (x-\bar x)^2} {n-1} \newline \newline 3rdmoment = \frac {n} {(n-1)(n-2)} \frac{\Sigma (x- \bar x)^3} {s^3} \newline \newline 4thmoment = \frac {n(n+1)} {(n-1)(n-2)(n-3)} \frac{\Sigma (x- \bar x)^4} {s^4} - \frac {3(n-1)^2} {(n-2)(n-3)} 1stmoment=nΣx2ndmoment=n−1Σ(x−xˉ)23rdmoment=(n−1)(n−2)ns3Σ(x−xˉ)34thmoment=(n−1)(n−2)(n−3)n(n+1)s4Σ(x−xˉ)4−(n−2)(n−3)3(n−1)2

其中xˉ是采样数据的平均值\bar x是采样数据的平均值xˉ是采样数据的平均值， sss为采样数据的标准差

样例代码

以python为实例代码

import numpy as npdef cal_moments(y, N):mu = np.mean(y)sigma = np.var(y)m2 = np.sum((y - mu)**2)/(N-1)m3 = np.sum((y - mu)**3)*N/((N-1)*(N-2)*(sigma**3))m4 = np.sum((y - mu)**4)*N*(N+1)/((N-1)*(N-2)*(N-3)*(sigma**4))-(3*(N-1)**2)/((N-2)*(N-3))print(mu, m2, m3, m4)print(sigma)N= 2000
x = np.arange(0,N)
y = np.random.randn(N)cal_moments(y, N)

计算结果

注：numpy里var计算的总体的方差，所以有如下等式
np.var(y) = np.sum((y - mu)**2)/(N), 所以在上诉例子中sigma计算结果跟m2是略有差异的，这个差异就体现在分母减1上。

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