【压缩感知】OMP恢复算法

一个经典的Matlab程序：

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clear
close all%  1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit)%  测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构%  input signal x%  measurement vector s%  待重构的谱域(变换域)向量hat_y%  重构得到时域信号hat_x%%  1. 时域测试信号生成K=7;      %  稀疏度(做FFT可以看出来)N=256;    %  信号长度M=64;     %  测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)f1=50;    %  信号频率1f2=100;   %  信号频率2f3=200;   %  信号频率3f4=400;   %  信号频率4fs=800;   %  采样频率ts=1/fs;  %  采样间隔Ts=1:N;   %  采样序列x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts);  %  完整信号,由4个信号叠加而来%%  2.  时域信号压缩传感Phi=randn(M,N);                                   %  测量矩阵(高斯分布白噪声)64*256的扁矩阵s=Phi*x.';                                        %  获得线性测量%%  3.  正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)%匹配追踪：找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波；在数据中去除这个标记的所有印迹；不断重复直到我们能用小波标记“解释”收集到的所有数据。m=2*K;                                            %  算法迭代次数(m>=K)，设x是K-sparse的Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N);                        %  傅里叶正变换矩阵T=Phi*Psi';                                       %  恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)hat_y=zeros(1,N);                                 %  待重构的谱域(变换域)向量,初始化Aug_t=[];                                         %  增量矩阵(初始值为空矩阵)r_n=s;                                            %  残差值for times=1:m;                                    %  迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K)for col=1:N;                                  %  恢复矩阵的所有列向量product(col)=abs(T(:,col)'*r_n);          %  恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)end[val,pos]=max(product);                       %  最大投影系数对应的位置，即找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)];                       %  矩阵扩充T(:,pos)=zeros(M,1);                          %  选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零），在数据中去除这个标记的所有印迹aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s;           %  最小二乘,使残差最小r_n=s-Aug_t*aug_y;                            %  残差pos_array(times)=pos;                         %  纪录最大投影系数的位置endhat_y(pos_array)=aug_y;                           %  重构的谱域向量hat_x=real(Psi'*hat_y.');                         %  做逆傅里叶变换重构得到时域信号%%  4.  恢复信号和原始信号对比figure(1);hold on;plot(hat_x,'k.-')                                 %  重建信号plot(x,'r')                                       %  原始信号legend('Recovery','Original')norm(hat_x.'-x)/norm(x)

恢复结果：

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