1.题外话

对于刚体的位姿变换问题，以前总觉得很简单，不就是个旋转平移嘛。可是几天手动做了的坐标变换却做了很久才做好。究其原因，还是有些问题没弄清楚。所以，今天在此写篇博客，彻底把这个过程捋一捋。

2.刚体的位姿变换

2.1 位姿变换的定义

确实，刚体的姿态变换就两部分：旋转和平移。先来看看书上是怎么介绍旋转和平移的。在《视觉slam十四讲》中，对于这部分内容是这样将的：

我们设某个单位正交基(e1,e2,e3)(e_{1},e_{2},e_{3})(e1,e2,e3)经过一次旋转，变成了 (e1′,e2′,e3′)(e'_{1},e'_{2},e'_{3})(e1′,e2′,e3′)。那么，对于同一个向量 aaa（注意该向量并没有随着坐标系的旋转而发生运动），它在两个坐标系下的坐标为[a1;a2;a3]T[a_{1}; a_{2}; a_{3}]^T[a1;a2;a3]T 和 [a′1;a′2;a′3]T[a′_{ 1}; a′_{ 2}; a′ _{3}]^T[a′1;a′2;a′3]T。根据坐标的定义，有：

为了描述两个坐标之间的关系，我们对上面等式左右同时左乘[e1T,e2T,e3T]T[e^T_{1},e^T_{2},e^T_{3}]^T[e1T,e2T,e3T]T，那么左边的系数变成了单位矩阵，所以

我们把中间的阵拿出来，定义成一个矩阵 RRR。这个矩阵由两组基之间的内积组成，刻画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系。只要旋转是一样的，那么这个矩阵也是一样的。可以说，矩阵 RRR 描述了旋转本身。因此它又称为旋转矩阵。

在欧氏变换中，除了旋转之外还有一个平移。考虑世界坐标系中的向量 aaa，经过一次旋转（用RRR 描述）和一次平移 ttt 后，得到了 a′a′a′，那么把旋转和平移合到一起，有：
a′=Ra+ta′= Ra + ta′=Ra+t
其中， ttt 称为平移向量。相比于旋转，平移部分只需把这个平移量加到旋转之后的坐标上，显得非常简洁。

以上内容摘自《视觉slam十四讲》第三章中的内容。

2.2 旋转矩阵的具体形式

从上面的内容可以看到，旋转矩阵是由两组基向量的内积组成。接下来再看看沿各个坐标轴进行旋转的旋转矩阵怎样写。

2.2.1 二维情况

对于二维的情况，比较简单。旋转矩阵（旋转方向为逆时针）为：
R=[cos(θ)−sin(θ)sin(θ)cos(θ)]R= \left[ \begin{matrix} cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{matrix} \right] R=[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)]

2.2.2 三维情况

绕x轴进行旋转（在yz平面逆时针旋转）
R=[1000cos(θ)−sin(θ)0sin(θ)cos(θ)]R= \left[ \begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0&cos(\theta) & -sin(\theta)\\ 0&sin(\theta) & cos(\theta) \end{matrix} \right] R=⎣⎡1000cos(θ)sin(θ)0−sin(θ)cos(θ)⎦⎤

绕y轴进行旋转（在xz平面逆时针旋转）
R=[cos(θ)0−sin(θ)010sin(θ)0cos(θ)]R= \left[ \begin{matrix} cos(\theta) & 0& -sin(\theta)\\ 0&1&0 \\ sin(\theta)& 0& cos(\theta) \end{matrix} \right] R=⎣⎡cos(θ)0sin(θ)010−sin(θ)0cos(θ)⎦⎤
绕z轴进行旋转（在xy平面逆时针旋转）
R=[cos(θ)−sin(θ)0sin(θ)cos(θ)0001]R= \left[ \begin{matrix} cos(\theta) & -sin(\theta)& 0\\ sin(\theta)& cos(\theta)& 0\\ 0&0&1 \\ \end{matrix} \right] R=⎣⎡cos(θ)sin(θ)0−sin(θ)cos(θ)0001⎦⎤

3.旋转方向

下面来考虑一个简单的问题。

问题：将点p=(1,0)p =(1,0)p=(1,0)，按照旋转矩阵RRR进行旋转，旋转后的坐标为多少？
R=[cos(θ)−sin(θ)sin(θ)cos(θ)]，θ=π/2R = \left[ \begin{matrix} cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{matrix} \right] ，\theta=\pi/2 R=[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)]，θ=π/2

这个问题很简单，口算都可以算出答案是p′=(0,1)p'=(0,1)p′=(0,1)。

但这里面有些问题需要搞清楚。按照旋转矩阵RRR进行旋转，我们将点p=(0,1)p =(0,1)p=(0,1)变换为了p′=(1,0)p'=(1,0)p′=(1,0)。相当于把点ppp逆时针旋转了π/2\pi/2π/2。这并没有什么问题。在上一节的旋转矩阵的定义中，我们也说了这种形式的旋转矩阵是进行逆时针旋转。

但是问题在于，很多情况下点的位置是固定的，它并不会发生变化。旋转之后发生变化的是坐标系。也就是说，旋转过后，点ppp的实际位置并没有变，它还是在那个位置。但是它的坐标变了（p′=(0，1)p'=(0，1)p′=(0，1)），也就是所在的坐标系变了。那坐标系是怎么旋转的呢？刚好与坐标旋转的方向相反——顺时针旋转。

这个道理同时适用于三维的情况。

我觉得，能把这个问题想清楚很重要。

4.平移方向

进行平移变换的时候，同样存在上面的问题。

我们可以考虑一下。将点p=(1,1)p = (1,1)p=(1,1)按向量（1，2）（1，2）（1，2）进行平移，很显然平移后的坐标为p′=(2,3)p'=(2,3)p′=(2,3)。如下图所示：

同样，很多情况下点的位置是固定的，变化的是坐标。所以，如果点的位置不变，在进行平移之后点的坐标变为了p′=(2,3)p'=(2,3)p′=(2,3)，那只能是坐标系进行了平移。那坐标系是怎么平移的呢？——与坐标平移方向相反，按向量(−1,−2)(-1,-2)(−1,−2)进行平移。如下图所示

总结一下：关于旋转和平移，必须要想清楚是对点（或向量）进行旋转平移还是对坐标系进行旋转平移。

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