半环(semiring)的数学概念
相关概念
交换群(An abelian group/commutative group)
交换群是一个集合(Set),它有一个运算符·,对于集合A,则可以表示为(A,·)
它有如下特性:
- 闭包性(Closure)
如果a,b属于A,那么a·b属于A - 结合性(Associativity)
如果a,b,c属于A,那么(a·b)·c=a·(b·c) - 含有幺元(Identity element)
存在元素e,对于A中元素a,满足e·a=a·e=a - 含有逆元(Inverse element)
对于元素a,在A中存在b,满足a·b=b·a=e,则称b为a的逆元 - 交换性(Commutativity)
对于任意元素a,b都属于A,满足a·b=b·a
环 (Ring)
环是有两种运算(+和·)的群
它有如下特性:
- 对于+,它有交换群特性
- 结合性 (a+b)+c = a+(b+c)
- 交换性 a+b = b+a
- 含有幺元 存在0,满足a + 0 = a,0为幺元
- 含有逆元 存在-a, 满足a + (−a) = 0, -a为a的逆元
- 对于·,它存在独异点(monoid),部分满足交换群特性
- 结合性 (a·b)·c = a·(b·c)
- 含有幺元 a · 1 = a,1为幺元
- ·对于+有分配性(distributive)
- 左分配性 a ⋅ (b + c) = (a · b) + (a · c)
- 右分配性 (b + c) · a = (b · a) + (c · a)
半环 (Semiring)
半环是去掉+操作中逆元特性的环,所以有昵称为rng,意思是去掉i(inverse element)的ring
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