python换零钱有多少种方案_Python3算法实例 1.2：动态规划之换零钱

money.jpg

问题(基础版)：

把100元兑换成1元，2元，5元，10元，20元，50元的零钱，共有多少种不同换法。

动态规划思想解析：

拆解子问题

下面以5元换成1,2,3元的零钱为例。T[(change),target]表示用零钱序列change组成target的所有方法。见下图：

example.png

其中：

T1[(1,2)，5-0*3]可看作只用1和2元、不用3元组成5元的方法数；

T2[(1,2)，5-1*3]可看作用1和2元、并且只用1个3元组成5元的方法数；

T6[(1)，3]可看作用1元，只用1个2元、并且不用3元组成5元的方法数；

T9[(1)，0]可看作用1元，只用1个2元、只用1个3元组成5元的方法数。

状态转移表达式：

problem.png

边界条件：

M-nd不得小于0，并且当M-nd等于0时，也就是说之前的选择已经组成了目标，所以表达式结果为1。

如果表达式为T[(a),c]，只有a可以被c整除，此表达式才为1，否则为0。例如T[(2),5]=0,T[(2),6]=1。Python3程序实现

#递归实现

#根据边界条件编写程序

def Solve(exlist,target):

#判断问题解

if target==0:

return 1

else:

if len(exlist)==1 and target%exlist[0]==0:

return 1

else:

return 0

#递归的方式，先将问题拆解为子问题的集合

def Dismantle(exlist):

if len(exlist[0][0])>1:

fu=[]

for ie in exlist:

for ji in range(int(ie[1]/ie[0][-1])+1):

fu.append([ie[0][0:-1],ie[1]-ji*ie[0][-1]])

return Dismantle(fu)

else:

return exlist

#计算结果

def Recursion(exlist,target):

structer=[[exlist,target]]

count=0

for jj in Dismantle(structer):#所有子问题的集合

if Solve(jj[0],jj[1])==1:#计算每一个子问题的结果

count+=Solve(jj[0],jj[1])

return count

print(Recursion([1,2,5,10,20,50],100))

结果：4562

上述的递归程序编写较为复杂，但是容易理解，下面给出基于动态规划的程序。

#动态规划实现

def DP_Com(exlist,num):

an=[1]+[0]*num

for i in exlist :

for j in range(i,num+1):

an[j]+=an[j-i]

return an[num]

print(DP_Com([1,2,5,10,20,50],100))

结果：4562

问题(进阶版)：

有面值为1元、3元和5元的钱币若干张，如何用最少的钱币凑够11元，并列出组合方法。

拆解子问题：

和基础版问题相比，此题复杂之处在于最小值的计算。详细见下图：

min.png

Python3程序实现

#记录

def DP_Min(exlist,target):

fan=[0]+[target]*target

record=['']*(target+1)

#存储最后一位

lic=[]

for i in exlist:

for j in range(i,target+1):

if fan[j-i]!=target:#如果等于target，说明之前没有数的结合可以达到这个数

fan[j]=min(fan[j-i]+1,fan[j])

#记录

if fan[j-i]+1<=fan[j]:

record[j]=record[j-i]+'%d*'%i

else:

record[j]=record[j]

if record[-1]!='':

lic.append(record[-1])

if len(lic)==0:

return '无解'

else:

return lic,fan[target]

#处理字符串

def Handle(exstr,num):

for i in set(exstr):

hu=i.split('*')

hu=list(filter(lambda x:x,hu))#去除掉split留下的空格

if len(hu)==num:

shuoming=''

for j in set(hu):

shuoming+='%s个%s '%(hu.count(j),j)

print(shuoming)

return 'Done'

ggg=DP_Min([1,3,5],11)

print(Handle(ggg[0],ggg[1]))

#结果：最少为3。组合方法：2个5 1个1

不定期更新，欢迎留言，敬请关注!!!

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