[MIT6.006 算法导论] 1. Peak Finding 寻峰

一、1D情况

假设有一个如下图的一维数组，格子下的数字代表它们的索引位置，格子内的字母代表该位置内的数值。

峰值的定义：当且仅当 b≥a 且 b≥c 时，位置2为峰值。（如果位置位于数组两个边界，则只需要比较另一个方向。如当 a≥b 时，位置1为峰值。）

寻峰：如果峰值存在，找到峰值所在的位置。（注意，由于定义时使用了大于等于，在此定义下数组内必定至少存在一个位置满足峰值的定义，因此此时不需要考虑峰值不存在的情况）

1、遍历

最简单且最直接的峰值寻找方式就是遍历，遍历数组内的每一个位置，若该位置内的元素满足峰值定义，则该位置就是峰值。

时间复杂度：O(n)，在最坏的情况下需要访问数组内的每一个元素。

2、二分（分治思想）

二分寻找峰值法主要步骤（假设数组为a，长度为n）：

找到中间位置数值 a[n2\frac{n}{2}2n]
if a[n2\frac{n}{2}2n] < a[n2−1\frac{n}{2}-12n−1]，数值变化如下图所示，在 a[n2\frac{n}{2}2n] 左边肯定会存在峰值，则在左边 1 到 n2−1\frac{n}{2}-12n−1 内寻找峰值

else if a[n2\frac{n}{2}2n] < a[n2+1\frac{n}{2}+12n+1]，也就是说，a[n2−1\frac{n}{2}-12n−1] 已经小于或者等于 a[n2\frac{n}{2}2n] 了，数值变化如下图所示。在 a[n2\frac{n}{2}2n] 右边肯定会存在峰值，则在右边 n2+1\frac{n}{2}+12n+1 到 n 内寻找峰值

else 位置 n2\frac{n}{2}2n 就是峰值

时间复杂度：O（log2nlog_2nlog2n）

刷题正好碰到(leetcode 852. 山脉数组的峰顶索引)，补上C++代码实现：
需要留意 mid==0mid==0mid==0 和 mid==arr.size()−1mid==arr.size()-1mid==arr.size()−1 时两种情况

class Solution {public:int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {int l=0;int r=arr.size()-1;while(l<r){int m=(l+r)/2;if(m==0){if(arr[m]<arr[m+1]){l=m+1;}else return m;}if(m==arr.size()-1){if(arr[m]<arr[m-1]){r=m-1;}else return m;}if(m!=0 && m!=arr.size()-1){if(arr[m]<arr[m-1]){r=m-1;}else if(arr[m]<arr[m+1]){l=m+1;}else return m;}}return r;}
};

二、2D情况

假设有一个如下图的二维数组。

峰值的定义：当且仅当 a≥b 且 a≥c 且 a≥d 且 a≥e 时，a所在位置为峰值。

同样有两种方法找到峰值所在位置

1、贪心上升

在某个开始位置执行贪心算法，在该位置处，向上下左右四个方向中，上升度最高的方向移动。若四个方向的上升度都小于等于0，则所在位置为峰值。

贪心算法执行举例：在12处，上升度分别为向左的1，向下的-1。最高的是13所在的左方向，所以向左移动到达13。同理13处继续向左移动到达14。整个移动过程最终到达20，即为该二维数组的峰值。

时间复杂度：O（mn），在最坏的情况下，贪心算法可能需要走遍整个二维数组内的每一个元素，所以时间复杂度是O（mn）

2、分治

找到中间列 j = m/2
遍历 j 列，找到 j 列中最大的元素 (i, j)
if （i，j-1）＞（i，j），选择左边部分，1 列到 j-1 列，重复以上步骤。
else if （i，j+1）> (i，j)，到这一步条件判断已经意味着（i，j-1）≤ （i，j），选择右边部分，j+1 列到 m 列，重复以上步骤
else 到这一步条件判断意味着（i，j）左边右边均小于或等于它，而（i，j）又是 j 列中最大的元素，所以（i，j）是二维数组的峰值

时间复杂度：O（nlog2mlog_2mlog2m），遍历列寻找最大值时的时间复杂度为O（n），选择列时使用了二分的方式，时间复杂度为O（log2mlog_2mlog2m）