Bridging signals

题目

“哦，不，他们又做到了”，Waferland 芯片厂的首席设计师喊道。布线设计人员再次完全搞砸了，使连接两个功能块端口的芯片上的信号到处都是相互交叉的。在这个过程的后期阶段，重做路由的成本太高了。相反，工程师必须使用第三维来桥接信号，以免两个信号交叉。然而，桥接是一个复杂的操作，因此希望桥接尽可能少的信号。迫切需要一种计算机程序，以找到可以在硅表面上连接而不相互交叉的最大数量的信号。记住在功能块的边界处可能有数千个信号端口，这个问题对程序员提出了很多要求。你能胜任这项任务吗？

图 1 示意性地描绘了一种典型情况。两个功能块的端口从 1 到 p，从上到下编号。信号映射由数字 1 到 p 以范围 1 到 p 中的 p 个唯一数字的列表的形式进行描述，其中第 i 个数字指定右侧的哪个端口应连接到i：左侧的第一个端口。当且仅当连接每对两个端口的直线交叉时，两个信号交叉。

思路

将相交翻译为数学语言即 a[i]>a[j]a[i] > a[j]a[i]>a[j] 其中a[i]a[i]a[i] 表示第 iii 个位置的链接点编号.
为不相交即保持a[i]<a[j](i<j)a[i]<a[j] (i<j)a[i]<a[j](i<j) ,所以很明显发现这是一个最长上升子序列问题(LIS)
由于数据规模400004000040000 ,因此 O(n∗n)O(n*n)O(n∗n) 的算法无法解决, 选用O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)算法解决.

DP算法 O(n∗n)O(n*n)O(n∗n)

定义 dp[i]dp[i]dp[i] 是以i为结尾的上升子序列.
状态转移一定从dp[1,i−1]dp[1 , i-1]dp[1,i−1]+1的最大值

即: dp[i]=max(dp[1,j])+1dp[i] = max(dp[1,j])+1dp[i]=max(dp[1,j])+1 (a[i]>a[j]且j<i)(a[i]>a[j]且j<i)(a[i]>a[j]且j<i)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<fstream>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define linf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define ull unsigned long long
#define endl '\n'
//#define int long long
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N =10 + 4e4 ,mod=1e9 + 7;
int dp[N];
int n;
int a[N];
void solve()
{    cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];memset(dp,0,sizeof dp);for(int i=2;i<=n;i++)// O(n^2){dp[i] = 1;for(int j=i-1;j>=1;j--)if(a[i]>a[j]) dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);}int res=0;for(int i=1;i<=n;i++) res = max(res,dp[i]);cout << res <<endl;
}
signed main()
{ios::sync_with_stdio();cin.tie();cout.tie();int T;cin>>T;while(T--)solve();//cerr<<endl<<" Time : "<< T2-T1 <<"ms."<<endl; return 0;
}

显然该算法无法解决本题.

贪心+二分 O(n∗logn)O(n*logn)O(n∗logn)

我们维护一个记录升序序列长为iii时最小末尾值的数组lis[n]lis[n]lis[n].
这个数组的最大长度即为所求
关于此算法的正确性不会很严谨的证明
暂时感性认为,末尾越小越有利于之后构成最长上升序列.
因为维护过程中总是在查找a[i]a[i]a[i]的替换位置,该数列又是有序的,因此可以用二分优化.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<fstream>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define linf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define ull unsigned long long
#define endl '\n'
//#define int long long
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N =10 + 4e4 ,mod=1e9 + 7;
int dp[N];
int n;
int a[N];
void solve()
{    scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);vector<int>lis(n);{for(int i=0;i<n;i++)lis[i] = inf;}for(int i=1;i<=n;i++){int p = lower_bound(lis.begin(),lis.end(),a[i]) - lis.begin();lis[p] = a[i];}printf("%d\n",lower_bound(lis.begin(),lis.end(),inf) - lis.begin());
}
signed main()
{// ios::sync_with_stdio();cin.tie();cout.tie();int T;cin>>T;while(T--)solve();//cerr<<endl<<" Time : "<< T2-T1 <<"ms."<<endl; return 0;
}

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