蓝桥杯及其搜索算法总结

蓝桥杯，考暴力和搜索，这是众所周知的事情，近几年的题目非常非常的多。

搜索的基本理论：

1、回溯法：当把问题分成若干个步骤并递归求解时，如果当前步骤没有合法选择，则函数将返回上一级递归调用，这种现象就称回溯。

2、路径寻找问题：路径寻找问题可以归结为隐式图的遍历，它的任务是找到一条从初始状态到终止状态的最优路径，而不是像回溯法那样找到一个符合某些要求的解。

常见的两种方法是：深度优先搜索，广度优先搜索。

具体例题分析：

1、模型一：

2016第三题

凑算式
B DEF
A + — + -——— = 10
C GHI
（如果显示有问题，可以参见【图1.jpg】）
这个算式中A~I代表1~9的数字，不同的字母代表不同的数字。
比如：
6+8/3+952/714 就是一种解法，
5+3/1+972/486 是另一种解法。
这个算式一共有多少种解法？
注意：你提交应该是个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。

#include<iostream>using namespace std;
int b[10];
int visited[10]={0};
void dfs(int k,int i);
void sovle();
int sum=0;
int main()
{int i;for(i=1;i<=9;i++){dfs(1,i);visited[i]=0;}printf("%d\n",sum);return 0;
} void dfs(int k,int i)
{int j;visited[i]=1;b[k]=i;if(k==9){sovle();}else{for(j=1;j<=9;j++){if(visited[j]==0){dfs(k+1,j);visited[j]=0;}}}
}
//先操作，再选择。
void sovle()
{int i;int x1,x2,x3;x1=b[2]*(b[7]*100+b[8]*10+b[9]);x2=b[3]*(b[4]*100+b[5]*10+b[6]);x3=(10-b[1])*(b[7]*100+b[8]*10+b[9])*b[3];if(x1+x2==x3){sum++;}
}

这道题目，我们看都不用看，果断选择回溯，因为，题意就是对9个数进行排列，然后，找到一个符合标准的排列时，加1.同时回溯法也是解决排列组合的一种很好的方法。但是这道题目麻烦在精度上面，我们必须要对分母进行通分。这个地方是出题人的一个变化的地方，因为以前考的都不用考虑精度，为啥呢?因为就比如2015年的三羊献瑞一样，它是乘法加法运算，算出的都是整数。

当然，我建议在考场直接用c++的next_permutation()这个函数，速度快。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{int x1,x2,x3;int a[9];int i;int sum=0;for(i=0;i<9;i++){a[i]=i+1;}while(next_permutation(a,a+9)){x1=a[1]*(a[6]*100+a[7]*10+a[8]);x2=a[2]*(a[3]*100+a[4]*10+a[5]);x3=(10-a[0])*(a[2]*(a[6]*100+a[7]*10+a[8]));if(x1+x2==x3){sum++;}}printf("%d\n",sum);return 0;
}

模型二：

2016蓝桥杯第6题：方格填数；

方格填数

如下的10个格子

（如果显示有问题，也可以参看【图1.jpg】）

填入0~9的数字。要求：连续的两个数字不能相邻。
（左右、上下、对角都算相邻）

一共有多少种可能的填数方案？

请填写表示方案数目的整数。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。

我的分析：这道题目，在回溯法应用于排列中算是一道比较有创意的题，首先，填数的过程就是一个排列，而排列往往用回溯，因为回溯法专门对那种解空间已知的，且解的成分独立，不相同。首先，我们要有方格存储，我们定义一个二维数组即可。在填数的过程中，应划分三块（按次数哈）。还有一点注意就是填数是有顺序的，就是第二个填入的数只需和第一个比较即可，不用和上下左右都比较。（我第一次做就犯了这个低级的错误）。

#include<iostream>using namespace std;
int graph[3][4]={0};
int visited[10]={0};  //候选集
int sum=0;
void dfs(int k,int i);
int main()
{int j;for(j=0;j<=9;j++){dfs(1,j);visited[j]=0;}printf("%d\n",sum);return 0;
} void dfs(int k,int i)
{int x1,x2;int j;
//  int j1,j2;visited[i]=1;//k决定了对哪个框进行操作。 //以下就是进行操作。 if(k>=8){x1=2;x2=k%8;graph[x1][x2]=i;//下面是检验； if(x2==0){if((graph[x1-1][x2]-graph[x1][x2]==1)||(graph[x1-1][x2]-graph[x1][x2]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2+1]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2+1]==1)){return;}}else{if(x2==1){if((graph[x1-1][x2]-graph[x1][x2]==1)||(graph[x1-1][x2]-graph[x1][x2]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2-1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2-1]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2+1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2+1]==-1)){return;}}else{if((graph[x1-1][x2]-graph[x1][x2]==1)||(graph[x1-1][x2]-graph[x1][x2]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2-1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2-1]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2+1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2+1]==-1)){return;}}} }else{if(k>=4){x1=1;x2=k%4;graph[x1][x2]=i;if(x2==0){if((graph[x1-1][x2+1]-graph[x1][x2]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2+1]==1)){return;}}else{if(x2==1){if((graph[x1-1][x2]-graph[x1][x2]==1)||(graph[x1-1][x2]-graph[x1][x2]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2+1]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2+1]==1)){return;}}else{if(x2==2){if((graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2-1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2-1]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2+1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2+1]==-1)){return;}}else{if((graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2-1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2-1]==-1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1-1][x2]==-1)){return;}}}} }else{x1=0;x2=k%4;graph[x1][x2]=i;if(x2==2){if((graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==-1)){return;}}else{if(x2==3){if((graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==1)||(graph[x1][x2]-graph[x1][x2-1]==-1)){return;}}}}}if(k==10){sum=sum+1; return;}else{for(j=0;j<=9;j++){if(visited[j]==0){dfs(k+1,j);visited[j]=0;}}}
}
//先进行操作，然后，深搜，

此时对我的搜获其实挺大的，因为，以前回溯法解决排列时，大多是算式的题目，最后都回溯到相应k，然后进行一波操作。但是此题，我在做时并没这么做，visited[10]的工作当然一开始就弄了，但是在存数的过程中，存完后我也进行相应的比较了，即验证工作放到了每一步过程中。这种处理方法主要是受蓝桥杯上的lift and throw那道题的影响。of couse ，如果把验证放到最后，也是可以的，那这样的话，直接用c++的模板即可。

但是，并不是验证过程放到最后就万事大吉的，有些时候，该还的还得还。

模型三：

题目：猜算式
你一定还记得小学学习过的乘法计算过程，比如：
273
x 15
------
1365
273
------
4095

请你观察如下的乘法算式
***
x ***
--------
***
***
***
--------
*****
星号代表某位数字，注意这些星号中，
0~9中的每个数字都恰好用了2次。
(如因字体而产生对齐问题，请参看图p1.jpg)
请写出这个式子最终计算的结果，就是那个5位数是多少？
注意：只需要填写一个整数，不要填写任何多余的内容。比如说明文字。

分析：我拿到这道题的时候，第一感觉也是回溯法，回溯20个数，然后拿到后，再最后进行一波验证。包括，我那天晚上把这道题目拿给去年获得一等奖的室友看，他的想法也是如此，直接回溯，信心满满的。。。。。可是的话，这道题目用回溯解真的不合适，因为，它有20个位置变量需要填充。哪怕，你像我上一题一样中途验证也没用。出不来结果。其实解题，真的是一门学问，回溯法虽然可以解决这种解空间明确，且元素只用一次的题目，但一旦需要排列的数超过一定数就基本不得行了。然后我们仔细的看题意，发现只要我们知道前六个，就可以依次算出后面的所有。然后在这我又犯了一个错误，直接暴力了六个数----2333333，直接枚举两个数可好。。。。。总而言之，此题值得我们对回溯法使用时要谨慎。并且以后遇到此类模型题，不要犹豫，就是简单枚举。

#include<iostream>
using namespace std;
int a[6];
int pd();
int main()
{int i,j;for(i=100;i<999;i++){for(j=100;j<999;j++){a[0]=i;a[1]=j;a[2]=i*(j%10);a[3]=i*(j/10%10);a[4]=i*(j/100%10);a[5]=i*j;if(a[2]<100||a[2]>999){continue;}if(a[3]<100||a[3]>999){continue;}if(a[4]<100||a[4]>999){continue;}if(a[5]<10000||a[5]>99999){continue;}if(pd()){printf("%d\n",a[5]);break;} }}return 0;
}
int pd()
{int t;int i;int x; int b[10]={0};for(i=0;i<6;i++){t=a[i];while(t>0){x=t%10;b[x]++;if(b[x]>2){return 0;}t=t/10;}  }return 1;
}

还有注意的一点，注意，对后面这几个进行一个位数的限制。

模型四：

2016 第7题

第七题：

剪邮票

如【图1.jpg】, 有12张连在一起的12生肖的邮票。
现在你要从中剪下5张来，要求必须是连着的。
（仅仅连接一个角不算相连）
比如，【图2.jpg】，【图3.jpg】中，粉红色所示部分就是合格的剪取。

请你计算，一共有多少种不同的剪取方法。

请填写表示方案数目的整数。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。

分析：此题是非常值得学习的一道，显然它并不是数的排列，我们观察到的是数的组合，那怎么来思考呢？一般会想到两种方案：一种是原始的路径搜索问题，因为，在这其中就像迷宫一样，需要我们选一个起始点，然后依次深搜，到边界就返回。但是这种想法藐视不行，行了也很复杂。故我采用的是第二种，因为毕竟这张方格以数为主，则可以用组合。然后对这个组合进行验证判断（用深搜判断即可）。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int visited[13]={0};
int b[6]={0};//这样做适合排列，不适合组合
int huoxuan[13]={0};
int sum=0;
void dfs(int k,int i);
void dfs1(int i);
void sovle();
int main()
{dfs(0,0);printf("%d\n",sum);return 0;
}void dfs(int k,int i)
{int j;visited[i]=1;b[k]=i;if(k==5){sovle();return;}else{for(j=1;j<=12;j++){if(visited[j]==0&&j>b[k]){dfs(k+1,j);visited[j]=0;}}}
}
//组合再修改毋庸置疑.
//我下面这种解决方案是很值得思考的，即根本不符合题意。
//往大了取；
void sovle()
{int i,j;int x;int flag=0;for(i=1;i<13;i++){huoxuan[i]=visited[i];}for(i=1;i<13;i++){if(huoxuan[i]==1){break;}} //拿到最小的那个。 dfs1(i);for(i=1;i<13;i++){if(huoxuan[i]==1){break;}}if(i==13){
//      for(i=1;i<13;i++)
//      {
//          if(visited[i]==1)
//          {
//              printf("%d ",i);
//          }
//      }
//      printf("\n");sum++;}}void dfs1(int i)
{int x1,x2;if(i>=13){return;}huoxuan[i]=0;if(i-4>0){if(huoxuan[i-4]==1){dfs1(i-4);}}if((i-1)%4>0){if(huoxuan[i-1]==1){dfs1(i-1);}}if((i+1)%4!=1){if(huoxuan[i+1]==1){dfs1(i+1);}}if((i+4)<13){if(huoxuan[i+4]==1){dfs1(i+4);}}
}

总结，当然，在搜索这块地题目还有很多，比如八数码，倒水问题，但是，我觉得在解决题目的时候，思路要清晰，比如回溯法吧，它并不是是个搜索就能去解决的，并且其写法也多样，扩展验证，还是最后验证，这要看个人，它也常常使用在排列，已经解空间已知的状况。而路径搜索问题，则常常采用的是深搜和广搜，这有什么特点呢？一般来说解决有初始目标有终极目标的问题，并且在这其中，每一步的获选集是不同的，可能一个可能两个。如果每次获选集一样这就是传说中的树的遍历了，题目也很多。

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