基础拓扑学笔记(1)——欧拉定理

2024-05-08 08:47:05

基本拓扑学=1/3点集拓扑+2/3 代数拓扑
微分几何微分流形

1.顶点数-棱数+面数 = 2

V=Vertex 顶点数 E= Edge 边数 F=Face 面数

2.凹多面体与凸多面体

多面体:若干个多边形沿着边粘出来的曲面所围成的立体、

凸多面体的任何截面都是凸多边形，与凹多面体相反。

把凸多面体的任何一个面伸展成平面，它的所有其他各面都在这个平面的同侧。

3.欧拉定理的弱化版本(凸多面体)

最后一个计算没有意义因为顶面的形状不算是多边形，也就说其形状并非多面体。为满足多面体的定义当然不满足欧拉定理

但是如果加几条边的话，使得围成的图形都是多边形在进行计算则满足欧拉定理

4.挖穿的洞

如果把上面的正方体所凿出的洞挖透会如何？

结果会变成V-e+f=0

5.问题

例1-4 为何v-e+f相同？

例5为何v-e+f与1-4不同，其本质区别是什么？

答案:

例1-4可连续变化为球面
例5可变化为轮胎面

也就是说欧拉定理与具体的几何形状无关，而更深层的几何结构有关

6.推广为更一般的定理(n个洞)

7.另一个特性闭形式与恰当形式

光滑函数（smooth function）:在其定义域内无穷阶数连续可导的函数。

例如，指数函数显然是光滑的，因为指数函数的导数是指数函数本身。

因为没学过这个闭形式是否为恰当形式，有点听不懂，之后补上笔记。

参考:

基础拓扑学(a first course in topology)

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