拉普拉斯算子的疑惑

国内许多工科教材在讲到有关拉普拉斯算子(Δ\DeltaΔ)与哈密顿算子(∇\nabla∇)的内容时含混不清，忽略了许多重要定义，使得一些进一步的推导难以理解

现记录我发现的两个主要问题，并予以解答，希望可以帮助到学习国内教材时有相似疑惑的同学

1. 拉普拉斯算子作用于矢量

1.1 课本中的定义

课本在介绍拉普拉斯算子时，一般会有如下定义:

设f\displaystyle ff为二阶可微的实函数，那么有:

Δf=∇2f=∇⋅∇f\Delta f = \nabla^2f = \nabla \cdot \nabla f Δf=∇2f=∇⋅∇f

紧接着，教材通常还会将其在直角坐标系下展开，也即

∇2f=∑i=1n∂2f∂xi2\nabla^2f=\sum_{i=1}^n{\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}} ∇2f=i=1∑n∂xi2∂2f

同时，教科书中常常还会在这里进一步解释它的含义是: 对一实值函数求其梯度的散度

1.2 疑问

但是，在许多进一步的推导中，我们又常常可以看到如下过程，例如在波动方程(亥姆霍兹方程)的推导中有如下内容

∇2E+ω2μϵE=0\nabla^2 \boldsymbol E + \omega ^2\mu\epsilon\boldsymbol E =0∇2E+ω2μϵE=0

其中E为矢量，或者说场量

这就奇了棒棒锤的怪了，说好的求梯度的散度呢？对于矢量我该如何进行计算∇2E\nabla ^2 \boldsymbol E∇2E？

1.3 真正的定义

其实，对矢量进行拉普拉斯算子，其定义与标量下并不相同，在Wolfram(https://mathworld.wolfram.com/VectorLaplacian.html)中可以查找到如下定义

Vector Laplacian
A vector Laplacian can be defined for a vector A\mathbf{A}A by
∇2A=∇(∇⋅A)−∇×(∇×A)\nabla^{2} \mathbf{A}=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla \times(\nabla \times \mathbf{A}) ∇2A=∇(∇⋅A)−∇×(∇×A)
where the notation ˙\dot{ }˙ is sometimes used to distinguish the vector Laplacian from the scalar Laplacian ∇2\nabla^{2}∇2 (Moon and Spencer 1988,p.31988, \mathrm{p} .31988,p.3 ). In tensor notation, A\mathbf{A}A is written AμA_{\mu}Aμ, and the identity becomes

∇2Aμ=Aμ;λ;λ=(gλxAμ;λ);κ=gλκ;κAμ;λ+gλxAμ;λx\begin{aligned} \nabla^{2} A_{\mu} &=A_{\mu ; \lambda} ; \lambda \\ &=\left(g^{\lambda x} A_{\mu ; \lambda}\right)_{; \kappa} \\ &=g^{\lambda} \kappa_{; \kappa} A_{\mu ; \lambda}+g^{\lambda x} A_{\mu ; \lambda x} \end{aligned} ∇2Aμ=Aμ;λ;λ=(gλxAμ;λ);κ=gλκ;κAμ;λ+gλxAμ;λx

A tensor Laplacian may be similarly defined.
In cylindrical coordinates, the vector Laplacian is given by

上面的定义式，在国内教材中通常作为一个张量运算的性质给出，但是在国外的许多资料中，则是拉普拉斯算子作用于矢量时的定义

显然，在这样的定义下，对矢量进行拉普拉斯算子运算已经失去了梯度的散度的含义。而之所以这样定义，我的理解是为了方便进一步的数学运算，例如在直角坐标系下将其展开，可以按照简单向量运算进行下去

∇2T=∇2(Tx,Ty,Tz)=(∇2Tx)x^+(∇2Ty)y^+(∇2Tz)z^\nabla^2 \boldsymbol T = \nabla^2(T_x,T_y,T_z) = (\nabla^2 T_x)\hat x + (\nabla^2 T_y)\hat y + (\nabla^2 T_z)\hat z∇2T=∇2(Tx,Ty,Tz)=(∇2Tx)x^+(∇2Ty)y^+(∇2Tz)z^

上式可以解释为: 直角系下，矢量的拉普拉斯运算相当于对矢量的各个分量分别做拉普拉斯运算，再组成一个矢量

2. 拉普拉斯算子在Hessian矩阵中的含义

2.1 Hessian矩阵的定义

Hessian矩阵通常定义如下:
∇2f=H=[∂2f∂x12∂2f∂x1∂x2⋯∂2f∂x1∂xn∂2f∂x2∂x1∂2f∂x22⋯∂2f∂x2∂xn∂2f∂xn∂x1∂2f∂xn∂x2⋯∂2f∂xn2]\nabla^2f = \mathbf{H}=\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{n}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{n}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}^{2}} \end{array}\right] ∇2f=H=⎣⎢⎢⎡∂x12∂2f∂x2∂x1∂2f∂xn∂x1∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22∂2f∂xn∂x2∂2f⋯⋯⋯∂x1∂xn∂2f∂x2∂xn∂2f∂xn2∂2f⎦⎥⎥⎤

2.2 疑问

我们知道，如果∇2\nabla^2∇2作用于标量时，如∇2ϕ\nabla^2 \phi∇2ϕ，所得结果也为一标量

∇2\nabla^2∇2作用于矢量时，如∇2E\nabla^2 \boldsymbol E∇2E，所得结果为一向量

那么在Hessian矩阵的定义中，究竟是何种逆天的力量，能够使得拉普拉斯算子作用于在f上时，却得到了一个矩阵?

2.3 符号的混淆

在维基百科中，终于找到了如下解释

Hessian matrix

While ∇2\nabla^{2}∇2 usually represents the Laplacian, sometimes ∇2\nabla^{2}∇2 also represents the Hessian matrix. The former refers to the inner product of ∇\nabla∇, while the latter refers to the dyadic product of ∇\nabla∇ :
∇2=∇⋅∇T\nabla^{2}=\nabla \cdot \nabla^{T} ∇2=∇⋅∇T
So whether ∇2\nabla^{2}∇2 refers to a Laplacian or a Hessian matrix depends on the context.

原来，在Hessian矩阵的定义中，∇2\nabla^2∇2符号的含义与拉普拉斯算子有所区别。我们将\nabla算符看作一个偏微分组成的列向量

∇=[∂∂x1∂∂x2⋯∂∂x3]\nabla=\left[\begin{array}{l} \frac{\partial }{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial }{\partial x_{2}} \\ \cdots \\ \frac{\partial }{\partial x_{3}} \\ \end{array}\right]∇=⎣⎢⎢⎡∂x1∂∂x2∂⋯∂x3∂⎦⎥⎥⎤

经过简单的矩阵运算∇2=∇⋅∇T\nabla^{2}=\nabla \cdot \nabla^{T}∇2=∇⋅∇T,即可得到Hessian的定义式

* 参考资料

Vector Laplacian
Del Wiki