图像平滑之二维离散卷积

学习资料参考：

张平.《OpenCV算法精解：基于Python与C++》.[Z].北京.电子工业出版社.2017.

基础概念

二维离散卷积是在两个矩阵的基础上的一种计算方式，如下所示：
I=(1234)I=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}I=(1324),K=(−1−221)K=\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}K=(−12−21).

计算方式为：

将KKK进行逆时针旋转180o180^o180o,则K=(12−2−1)K=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \\ \end{pmatrix}K=(1−22−1).
将矩阵KKK沿着III按照先行后列的顺序移动，每移动一个位置，就进行对应位相乘求和。演示过程如下所示：

得到矩阵C=(−1−4−4−1−5−66114)C = \begin{pmatrix} -1 &-4 & -4 \\ -1 & -5 & -6 \\ 6 & 11 & 4\end{pmatrix}C=⎝⎛−1−16−4−511−4−64⎠⎞，矩阵CCC的高与宽满足：
矩阵C的高 = 矩阵I的高 + 矩阵K的高 - 1；矩阵C的宽 = 矩阵I的宽 + 矩阵K的宽 - 1；
而矩阵KKK就称为卷积核，或者卷积算子。

卷积种类

full卷积

full卷积形式橙色部分为卷积算子。
边界扩充方式：

在红色矩阵边界外填充常数，通常进行的是0扩充。
重复红色矩阵边界处的行和列，对输入矩阵进行扩充。
以矩阵边界为中心，令矩阵外某位置上未定义的灰度值等于图像内其镜像位置的灰度值，该种方式会产生最小的影响。

same卷积

same卷积形式橙色部分为卷积算子,相比较于ful形式重合部分更多,即卷积算子的中心处于红色部分中时开始计算，在合适的步长情况可保证输入与输出图像大小一致。很明显same卷积是full卷积的子集。
3. valid卷积

卷积算子只存在于原图中。

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