第3章

3.6

原题：试解释为什么离散直方图均衡技术一般不能得到平坦的直方图？

答：假设有一副图像，共有像素个数为n=MN（M行N列），像素灰度值取值范围为（0～255），那么该图像的灰度值的个数为L=256，为了提高图像的对比度，通常我们都希望像素的灰度值不要都局促到某一个狭窄的范围，也就是我们通常说的图像灰度值的动态分布小。最好是在有效灰度值取值范围上，每个灰度值都有MN/L个像素，这个时候我们就可以得到一张对比度最理想的图像，也就是说像素的取值跨度大，像素灰度值的动态范围大。

因为直方图是PDF（概率密度函数）的近似，而且在处理中，不允许造成新的灰度级，所以在实际的直方图均衡应用中，很少见到完美平坦的直方图。因此，直方图均衡技术不能保证直方图的均匀分布，但是却可以扩展直方图的分布范围，也就意味着在直方图上，偏向左的暗区和偏向右的亮区都有像素分布，只是不能保证每个灰度级上都有像素分布。

（百度答案：）由于离散图像的直方图也是离散的，其灰度累积分布函数是一个不减的阶梯函数。如果映射后的图像仍然能取到所有灰度级，则不发生任何变化。如果映射的灰度级小于256，变换后的直方图会有某些灰度级空缺。即调整后灰度级的概率基本不能取得相同的值，故产生的直方图不完全平坦。

3.8

原题：在某些应用中，将输入图像的直方图模型化为高斯概率密度函数效果会是比较好的，高斯概率密度函数为：

其中m和σ分别是高斯概率密度函数的均值和标准差。具体处理方法是将m和σ看成是给定图像的平均灰度级和对比度。对于直方图均衡，您所用的变换函数是什么？

答：直方图均衡变换函数的一般表达式如下：
                                                

在回答这个问题时，有两点非常重要，需要学生表达清楚。

第一，   这个表达式假定灰度值r只有正值，然而，高斯密度函数通常的取值范围是-∞～∞，认识到这点是非常重要的，认识到这点，学生才能以多种不同的方式来解决问题。对于像标准差这样的假设，好的答案是，需要足够小，以便于当r为小于0时，在p_r(r)曲线下的面积可以被忽略。另一种回答就是，将值（不知道什么值）按比例增大，直到r小于0部分的曲线下的面积可以被忽略。

第二，要让学生认识到，变换函数本身，
                                              

并没有闭合形式解（closed-form solution）。这是高斯密度函数的累积分布函数，该函数或者是数字可积的，或者其值有表可查。

第三点，不是很重要，但学生要说清楚，那就是r的高端值（high-end value）。再强调一遍，高斯PDF是趋于正无穷（+∞）的，一个可行性的方法就是根据标准差，和前面一样对其做个假设。另一个可行方法就是除以一个足够大的值，使得在大于r部分函数曲线下的面积可以忽略（这实际上就是相当于比例缩小标准差）。

学生还需做的工作就是处理直方图，此时的变换函数是一种和的形式。负值和超过r的正值问题还是需要说明白，对于这些问题，前面建议的答案依然适用。学生需要指出，直方图是通过对连续函数采样得到的，所以对于采样的比特位数应该给出建议。最可能的答案是8比特，此时学生还需描述函数缩放比例，以便其取值在[0,255]范围之内。

Opencv中的均值和标准差函数meanStdDev

C++: void meanStdDev(InputArray src, OutputArray mean, OutputArray stddev, InputArray

mask=noArray())

C: void cvAvgSdv(const CvArr* arr, CvScalar* mean, CvScalar* std_dev, const CvArr* mask=NULL )

Python: cv.AvgSdv(arr, mask=None) -> (mean, stdDev)

Parameters

　　src – 输入矩阵，通道数为1~4，input array that should have from 1 to 4 channels so that the results can be stored in

　　　　Scalar_ ‘s.

　　mean – 输出参数，数据类型为Match，用于保存均值。

　　stddev –输出参数，数据类型为Mat，用于保存标准差。

　　mask – 可选的mask运算。

函数meanStdDev 用于计算每个通道上的均值和标准差，分别保存在mean和std_dev中。

meanStdDev实例

#include <iostream>

#include <opencv2/opencv.hpp>

using namespace cv;

using namespace std;

int main()

{

Mat img=imread("D:/CodeWork/MyImage/baboon.jpg",0);

// imshow("my test image!",img);

Mat mat_mean,mat_stddev;

meanStdDev(img,mat_mean,mat_stddev);

double m,s;

m=mat_mean.at<double>(0,0);

s=mat_stddev.at<double>(0,0);

cout<<"mean="<<m<<endl;

cout<<"stddev="<<s<<endl;

waitKey();

return 0;

}

输出结果如下：

高斯PDF函数实例

在本例中，依然借用上一个实例中的图片的均值和方差，根据本题中的高斯PDF公式：

创建高斯概率密度函数曲线，即高斯PDF，该“曲线”实际上就是一个一维Mat型数据，用ｐｒ表示，p表示概率，r表示灰度级。上面的公式中的σ用s表示，只是为了方便，与前面的s不要弄混。

void plot(const Mat&src,const string winName="PlotWindow")
{int rows=src.rows,cols=src.cols ;if(rows!=1&&cols!=1){cout<<"your input is not one dim!"<<endl;return;}double minv,maxv;minMaxLoc(src,&minv,&maxv);int wx=cols*1.4,wy=maxv*1.2;int blankLeft=cols*0.2;int blankBottom=maxv*0.1;namedWindow(winName);Mat img(wy,wx,CV_8UC3,Scalar::all(0));//绘制坐标轴Point origin(blankLeft,wy-blankBottom);Point arrowx(wx-10,wy-blankBottom);Point arrowy(blankLeft,10);plotCoordinate(img,origin,arrowx,arrowy,Scalar(0,255,255));//绘制高斯PDF曲线
    Point p1,p2;if(rows==1){for(int i=0;i<cols-1;i++){p1.x=i+blankLeft;p1.y=src.at<uchar>(0,i);p1.y =wy-p1.y-blankBottom;p2.x=i+1+blankLeft;p2.y=src.at<uchar>(0,i+1);p2.y=wy-p2.y-blankBottom;line(img,p1,p2,Scalar(255,0,255),3);}}else{for(int i=0;i<rows-1;i++){p1.y=i;p1.x=src.at<uchar>(0,i);p2.y=i+1;p2.x=src.at<uchar>(0,i+1);line(img,p1,p2,Scalar(255,0,255),3);}}//cv::resize(img,img,Size(img.cols*2,img.rows*2));
    imshow(winName,img);

//有些系统不能按“alt+PrtSc”会直接退出，所以要用waitKey等待5秒，同时在主程序中也要有waitKey（），否则还是会自动退出。

}

在plot（）函数还调用了绘制坐标函数
void plotCoordinate(Mat& src,Point origin,Point px,Point py,Scalar color)

　　src--准备绘制坐标轴的矩阵；
　　origin--坐标原点；
　　px     --x轴坐标端点；
　　py   ----y轴坐标端点；
绘制坐标函数定义如下：

void plotCoordinate(Mat& src,Point origin,Point px,Point py,Scalar color)
{line(src,origin,px,color);line(src,origin,py,color);line(src,px,Point(px.x-10,px.y-3),color);line(src,px,Point(px.x-10,px.y+3),color);line(src,py,Point(py.x+3,py.y+10),color);line(src,py,Point(py.x-3,py.y+10),color);
}

下面是主程序：

int main()
{Mat img=imread("D:/CodeWork/MyImage/baboon.jpg",0);// imshow("my test image!",img);
    Mat mat_mean,mat_stddev;meanStdDev(img,mat_mean,mat_stddev);double m,s;//m是均值，s是标准差m=mat_mean.at<double>(0,0);s=mat_stddev.at<double>(0,0);
//    cout<<"mean="<<m<<endl;
//    cout<<"stddev="<<s<<endl;Mat pr(1,256,CV_64F,Scalar::all(0));s *=0.2;//标准差s分别乘以0.2，0.5，1，1.5，2时，观察高斯曲线的变化for(int r=0;r<256;r++){pr.at<double>(0,r)= std::exp(-(r-m)*(r-m)/(2*s*s))/(sqrt(2*3.14)*s);}cv::normalize(pr,pr,1,0,NORM_MINMAX);pr=pr*255;//将取值范围扩展到255
    pr.convertTo(pr,CV_8U);cout<<"pr="<<endl<<pr<<endl;plot(pr,"s*0.2");waitKey();return 0;
}

下面是标准差s乘以0.2、0.5、1、1.5、2时，高斯PDF函数曲线的变化情况：

接下来，我们利用上面五个不同标准差值，根据公式（3）将高斯概率密度分布函数转换成高斯概率累积分布函数，实现程序如下：
   
  

从T(r)曲线的变化我们可以发现，随着标准差的增大，T(r)曲线越来越接近45°直线，当标准差放大6倍时，已经是一条45°直线了，这意味着标准差越大，该变换曲线，对变换结果的影响越小。

3.24

原题：证明如式（3.6-3）所示的拉普拉斯变换是各向同性的（即旋转不变）。您需要下列轴旋转θ角的坐标方程为：
                  

其中(x,y)为未旋转的坐标，而为旋转后的坐标。

答案：

坐标未旋转时的拉普拉斯运算表达式如下：
                        

坐标旋转后的表达式如下：
                       

我们已经知道，坐标旋转公式为：
                    

其中θ为旋转角度，为了证明前面两个拉普拉斯表达式的右边相等，我们先求解f对x’的一阶导数在原坐标中的表达式：
                     

对上面的表达式继续微分得到：
               

同理，我们也可以求得的原坐标表达式：
               

将两个二阶微分表达式相加，我们就得到：
              
这样我们就证明了，拉普拉斯运算是旋转无关的运算。

3.25

中心为-4的拉普拉斯模板，执行的是水平和垂直方向上的差分运算。我们可以先考察一个 3×3的拉普拉斯模板，模板的中心值为-2，中心上下都为1，其它元素值为0，这样的模板只是执行了垂直方向的差分，

而与之正交的亮度值的变化却被忽略了，经过该模板处理的图像，只有在垂直方向的像素会被锐化增强。而中心值为-4的模板则同时对垂直和水平两个方向上进行微分处理，因此在垂直和水平两个方向的像素都得到了锐化增强，
这样的增强效果也会比单方向的锐化更明显。同样的，中心值为-8的模板对图像执行了四个方向上的锐化增强，这样通常会得到更好的锐化结果。

3.26

图3.26

(a)  3×3 拉普拉斯模板的尺寸和系数是直接有方程(3.6-6)得到的，该方程为

▽²f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)
换句话说，拉普拉斯模板中的数字，就是二阶微分方程中的系数。如果用一个更大的“类拉普拉斯模板”与图像卷积，并不会实现图像的二阶微分，所以我们也不要指望能够给出一个更加锐化的结果。
实际上，正如在(b)中解释的，不但不会锐化，反而变得模糊了。
(b)通常，增大“类拉普拉斯模板”的尺寸，会使图像变得模糊。为什么会这样呢？我们先假设有一个图像，该图像是由两个垂直的条带组成，左边是黑色条带右边是白色条带，黑白的分界线刚好通过
图像的中心，也就是说图像的中心有一个锐利的垂直边线，如图3.26所示。在书上正文98页，图3.36中，我们知道，当3×3拉普拉斯模板中心位于垂直边线上时，二阶微分会在垂直边线区域产生一
个双边线；这是由于当模板中心在垂直边线上继续移动超过两个像素时，该模板所包围的区域像素值相同，经卷积计算后该区域的值为0。然而，如果模板太大，当模板中心位于黑色区域时，模板的
一半完全处于黑色区域，而依据模板尺寸的大小，模板的一部分会处于图像的白色区域，这样卷积结果将不再是二阶微分的0，这意味着卷积后，本该为0的区域不再是0，图3.26显示了卷积效果。
图中左上角就是准备被处理的图像，紧挨着的图像是用中心为8的 3×3 拉普拉斯模板卷积结果。其它图像是分别用尺度 15×15, 35×35, 75×75,and 125 ×125类拉普拉斯模板卷积后的结果。随着模板尺寸
的增加，图像变得越来越模糊。