近似熵和样本熵的原理及在人体运动学分析中应用

熵的基本概念

在信息理论中熵被认为代表着信息的丢失，它是基于我们对于当前系统状态的理解以及能够在多大程度上准确预测该系统的下个状态。如果某系统的熵值很低时，意味着该系统具有很强的可预测性。

shannon（贝尔实验室）最早将熵的概念应用于信息理论中，即我们所熟知的香农熵。

Hs=−∑ipilog⁡piH_{s}=-\sum_{i}p_{i}\log_{}p_{i}Hs=−∑ipilogpi

可是问题来了，为何香农熵要这样定义，参考<Pattern Recognition and Maching Learning>：

假设存在两个独立的事件x和y，则这两个事件同时发生时获得的信息为两事件单独发生时所获得的信息之和，h(x,y)=h(x)+h(y)，又已知两事件之间独立，则事件x和y同时发生的概率，p(xy)=p(x)p(y)，因此我们可以看出熵h与事件发生的概率p之间存在对数的关系，即h(x)&logp(x)h(x)\&log_{}p(x)h(x)&logp(x)，此处对数的底数是任意的，而负号仅仅为了确保信息始终为正值。最后再对各个变量熵的数值取期望，即得到了上述的香农熵公式，如有兴趣请阅读原著。

熵在人体运动学分析中的应用

在人体运动学分析中，如步态分析，熵能够代表人体步态的重复性程度，如计算足底的压力中心（COP）轨迹的熵值来衡量步态的规律性和可预测性。熵值越小，意味着步态的规律性越好，当然这并不一定代表步态越稳定，只能说明步态具有较好的重复性。对于其他运动学特征是一样的，很多论文都采用熵对人体的运动学特征进行分析。

近似熵（Approximate Entropy）

近似熵是最早提出来用于对时间序列进行衡量的算法，其基本原理十分简单：

确定构造的向量长度m 和容忍度r
在长度为N的时间序列中，根据m构造所有的向量（N-m+1）
确定各个向量的在所有向量中出现的概率，并取对数
将上述结果求和并取平均得到A
采用重构向量长度m+1重复步骤1-4得到B
近似熵=A−B近似熵=A-B近似熵=A−B

注意：在计算概率以及求平均的时候对应的数目N是不同的。整个过程都很简单，这里不再赘述，如不理解请自行翻阅网上的例子。

在人体的运动学分析中，对老年人的最小足间距（MFC）求近似熵曾被用于预测跌倒的可能性；穿高跟鞋走路会导致踝关节的近似熵值的增加。

样本熵（Sample Entropy）

样本熵在近似熵的基础上提出的，与近似熵相比较，样本熵能够消除自匹配的影响（后文会提到），而且样本熵不受时间序列长度的影响。其基本原理如下：

确定重构的向量长度m 和容忍度r（同上）
在长度为N的时间序列中，根据m构造所有的向量（N-m+1）
确定各个向量的在所有向量中出现的概率，并求和
将上述结果除以N-m，得到平均概率A
采用重构向量长度m+1重复步骤1-4得到B
样本熵=−logBA样本熵=-log_{}\frac{B}{A}样本熵=−logAB

注意：

对向量长度为m的情况下，在步骤3中求解概率时除以N-m而不是N-m+1，对向量长度为m+1的情况下，在步骤3中求解概率时除以N-m-1而不是N-m，为了排除自匹配性；
在步骤4中，对于向量长度为m和向量长度为m+1，均除以N-m得到平均概率；最早提出样本熵的人是这样写的，其他论文中有很多在这一点上与原著不符！！！
除了上述两个细节，直观来看，近似熵与样本熵的区别在于，前者先求对数再取平均，后者先取平均在求对数。

样本熵曾被用于区分人体脚的类型，从而选择合适的鞋子；样本熵也被用来研究患有脑瘫的儿童和正常儿童之间身体摆动姿势的对比。

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