机器学习基石-林轩田-2-Learning to Answer Yes_No

本节内容
引例
A Simple Hypothesis Set: Perceptron
Perceptron Learning Algorithm（PLA - Select g from H）
- 1 模型
- 2 损失函数(Loss)/参数优化
- PLA的优化过程
- - 为什么决策边界方向和权重向量方向垂直？
Some Remaining Issues of PLA
- 线性可分PLA：算法是否会停下来？
- 线性可分PLA：算法何时停下来？
- 线性不可分PLA：Pocket Algorithm

本节内容

上节课，我们主要简述了机器学习的定义及其重要性，并用流程图的形式介绍了机器学习的整个过程：根据模型H，使用演算法A，在训练样本D上进行训练，得到最好的h，其对应的g就是我们最后需要的机器学习的模型函数，一般g接近于目标函数f。本节课将继续深入探讨机器学习问题，介绍感知机Perceptron模型，并推导课程的第一个机器学习算法：Perceptron Learning Algorithm（PLA）。

A Simple Hypothesis Set: Perceptron：一种简单的假设集H：感知机。
引例银行卡分发信用卡的例子中，感知机就是分类器，相当于平面上的很多条线。
Perceptron Learning Algorithm（PLA - Select g from H）
如何从平面上的很多条线中，选出一条最优的，使得能够对用户是否发放信用卡进行很好的判断。

引例

引入这样一个例子：某银行要根据用户的年龄、性别、年收入等情况来判断是否给该用户发信用卡。现在有训练样本D，即之前用户的信息和是否发了信用卡。这是一个典型的机器学习问题，我们要根据D，通过A，在H中选择最好的h，得到g，接近目标函数f，也就是根据先验知识建立是否给用户发信用卡的模型。银行用这个模型对以后用户进行判断：发信用卡（+1），不发信用卡（-1）。

A Simple Hypothesis Set: Perceptron

在这个机器学习的整个流程中，有一个部分非常重要：就是模型选择，即Hypothesis Set。选择什么样的模型，很大程度上会影响机器学习的效果和表现。下面介绍一个简单常用的Hypothesis Set：感知机（Perceptron）。

还是刚才银行是否给用户发信用卡的例子，我们把用户的个人信息作为特征向量x，令总共有d个特征，每个特征赋予不同的权重w，表示该特征对输出（是否发信用卡）的影响有多大。那所有特征的加权和的值与一个设定的阈值threshold进行比较：大于这个阈值，输出为+1，即发信用卡；小于这个阈值，输出为-1，即不发信用卡。感知机模型，就是当特征加权和与阈值的差大于或等于0，则输出h(x)=1；当特征加权和与阈值的差小于0，则输出h(x)=-1，而我们的目的就是计算出所有权值w和阈值threshold。

那么，我们所说的Perceptron，在这个模型上就是一条直线，称之为linear(binary) classifiers。注意一下，感知器线性分类不限定在二维空间中，在3D中，线性分类用平面表示，在更高维度中，线性分类用超平面表示，即只要是形如的线性模型就都属于 linear(binary) classifiers。

同时，需要注意的是，这里所说的 linear(binary) classifiers 是用简单的感知器模型建立的，线性分类问题还可以使用 logistic regression 来解决，后面将会介绍。

Perceptron Learning Algorithm（PLA - Select g from H）

根据上一部分的介绍，我们已经知道了hypothesis set由许多条直线构成。接下来，我们的目的就是如何设计一个演算法A，来选择一个最好的直线，能将平面上所有的正类和负类完全分开，也就是找到最好的g，使g≈f。

如何找到这样一条最好的直线呢？考虑到平面上有无穷多的线（即H is of infinite size），不可能一条条的测试。所以，我们可以使用逐点修正的思想，首先在平面上随意取一条直线g0g_0g0，看看哪些点分类错误。然后开始对第一个错误点进行修正，即变换直线的位置，使这个错误点变成分类正确的点。接着，再对第二个、第三个等所有的错误分类点进行直线纠正，直到所有的点都完全分类正确了，就得到了最好的直线。这种“逐步修正”，就是PLA思想所在。

1 模型

从数学本质上来看，模型将Weight Vector与Feature Vector作内积，而内积一定程度上可以刻画两个向量之间的相似度，所以可以认为Weight Vector就是模型所学习到的模式或者称为特征。

从模型数学公式可看出，PLA本身仅仅为权重与输入的线性运算，故其本身是一个线性二分类模型，只能解决比较简单的线性二分类问题。但可以将多个学习到的感知机模型重叠在一起形成多分类模型。

2 损失函数(Loss)/参数优化

下面介绍一下PLA是怎么做的。首先随机选择一条直线进行分类。然后找到第一个分类错误的点，如果这个点表示正类，被误分为负类，即wtTxn(t)<0w_t^Tx_{n(t)}\lt 0wtTxn(t)<0，那表示w和x夹角大于90度，其中w是直线的法向量。所以，x被误分在直线的下侧（相对于法向量，法向量的方向即为fl类所在的一侧），修正的方法就是使w和x夹角小于90度。通常做法是w←w+yx,y=1w \leftarrow w+yx, y=1w←w+yx,y=1，如图右上角所示，一次或多次更新后的w+yxw+yxw+yx与x夹角小于90度，能保证x位于直线的上侧，则对误分为负类的错误点完成了直线修正。

同理，如果是误分为正类的点，即wtTxn(t)>0w_t^Tx_{n(t)}\gt 0wtTxn(t)>0，那表示w和x夹角小于90 度，其中w是直线的法向量。所以，x被误分在直线的上侧，修正的方法就是使w和x夹角大于90度。通常做法是w←w+yx,y=−1w \leftarrow w+yx, y=-1w←w+yx,y=−1，如图右下角所示，一次或多次更新后的w+yxw+yxw+yx与x夹角大于90度，能保证x位于直线的下侧，则对误分为正类的错误点也完成了直线修正。

按照这种思想，遇到个错误点就进行修正，不断迭代。要注意一点：每次修正直线，可能使之前分类正确的点变成错误点，这是可能发生的。但是没关系，不断迭代，不断修正，最终会将所有点完全正确分类（PLA前提是线性可分的）。这种做法的思想是“知错能改”，有句话形容它：“A fault confessed is half redressed.”

实际操作中，可以一个点一个点地遍历，发现分类错误的点就进行修正，直到所有点全部分类正确。这种被称为Cyclic PLA。

PLA的优化过程

为什么决策边界方向和权重向量方向垂直？

Some Remaining Issues of PLA

对PLA，我们需要考虑以下两个问题：
PLA迭代一定会停下来吗？如果线性不可分怎么办？
PLA停下来的时候，是否能保证g≈fg\approx fg≈f？如果没有停下来，是否有g≈fg\approx fg≈f？

线性可分PLA：算法是否会停下来？

PLA什么时候会停下来呢？根据PLA的定义，当找到一条直线，能将所有平面上的点都分类正确，那么PLA就停止了。要达到这个终止条件，就必须保证D是线性可分（linear separable）。如果是非线性可分的，那么，PLA就不会停止。

对于线性可分的情况，如果有这样一条直线，能够将正类和负类完全分开，令这时候的目标权重为wf，则对每个点必然满足：

线性可分PLA：算法何时停下来？

迭代次数T最大为1/constant^2。

线性不可分PLA：Pocket Algorithm

线性不可分 Non-Separable Data

上一部分，我们证明了线性可分的情况下，PLA是可以停下来并正确分类的，但对于非线性可分的情况， wfw_fwf实际上并不存在，那么之前的推导并不成立，PLA不一定会停下来。所以，PLA虽然实现简单，但也有缺点：

对于非线性可分的情况，我们可以把它当成是数据集D中掺杂了一下noise，事实上，大多数情况下我们遇到的D，都或多或少地掺杂了noise。这时，机器学习流程是这样的：

在非线性情况下，我们可以把条件放松，即不苛求每个点都分类正确，而是容忍有错误点，取错误点的个数最少时的权重w：

事实证明，上面的解是NP-hard问题，难以求解。然而，我们可以对在线性可分类型中表现很好的PLA做个修改，把它应用到非线性可分类型中，获得近似最好的g。

修改后的PLA称为Packet Algorithm。它的算法流程与PLA基本类似，首先初始化权重，计算出在这条初始化的直线中，分类错误点的个数。然后对错误点进行修正，更新w，得到一条新的直线，在计算其对应的分类错误的点的个数，并与之前错误点个数比较，取个数较小的直线作为我们当前选择的分类直线。之后，再经过n次迭代，不断比较当前分类错误点个数与之前最少的错误点个数比较，选择最小的值保存。直到迭代次数完成后，选取个数最少的直线对应的w，即为我们最终想要得到的权重值。

由上面的步骤可以看到，由于不知道什么时候循环应该停下来，所以需要人为定义一个最大的循环次数来作为退出条件，所以口袋算法相对感知器学习算法来说，运行时间会更慢一些。在循环中是随机选取错误点，最后的输出结果在每次运行时也不是一个稳定的结果。

如何判断数据集D是不是线性可分？对于二维数据来说，通常还是通过肉眼观察来判断的。

一般情况下，Pocket Algorithm要比PLA速度慢一些，有两个原因：
一是因为要存储当前分类最少错误点个数的线。
二是因为Pocket Algorithm需要将所有的训练集样本都学习一遍，才能知道哪条线分类错误点个数最少。

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