本文介绍联邦学习中用到的几种加密算法的实现过程，不涉及原理。

1.知识准备

这里要首先介绍加密算法牵扯到的几个基础知识，简单介绍，不讲原理，方便后续理解。

1.1 同态加密

同态加密的概念：对加密后的数据进行特定形式的代数运算，对运算结果进行解密，得到的结果和对原数据进行相同的代数运算得到的结果相同。换言之，用户可以不经过解密，直接对密文进行运算，而不影响最终的结果。

1.2 乘法逆元

不是倒数！

1.2.1 线性同余方程

介绍乘法逆元之前，还要先介绍一下线性同余方程：
ax≡b(modn)\large ax\equiv b\; (\mod n) ax≡b(modn)
所谓同余，即,ax/nax/nax/n得到的余数和b/nb/nb/n得到的余数相等。
方程有解的充要条件为，b能够被a与n的最大公约数整除（a与n的最大公约数记为gcd⁡(a,n)\gcd(a,n)\,gcd(a,n)）

1.2.2 乘法逆元

乘法逆元定义为：
ax≡1(modn)解x为a的乘法逆元，记为a−1,\large ax \equiv 1\;(\mod n)\\ 解x为a的乘法逆元，记为a^{-1}, ax≡1(modn)解x为a的乘法逆元，记为a−1,
即ax除n的余数为1。
a在模n的条件下，存在乘法逆元的充分必要条件为a与n互质，及gcd⁡(a,n)=1\gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1。

1.2.2.1 乘法逆元的求解

1.循环求解，挨个试。
2.费马小定理。费马小定理定义：a与n为质数，则an−1/n=1,所以，a−1=an−2a^{n-1}/n=1,所以，a^{-1}=a^{n-2}an−1/n=1,所以，a−1=an−2
3.等等。

1.3 剩余系和简化剩余系

剩余系：一个数模n所得的余数域，称为剩余系，记为Zn，例如：Z6={1,2,3,4,5}\mathbb{Z}_n，例如：\mathbb{Z}_6=\{1,2,3,4,5\}Zn，例如：Z6={1,2,3,4,5}。
简化剩余系，一个数模n所得的余数域中与n互质的余数所组成的余数域，称为简化剩余系，记为Zn∗，例如：Z6∗={1,5}\mathbb{Z}_n^*，例如：\mathbb{Z}_6^*=\{1,5\}Zn∗，例如：Z6∗={1,5}。

【注】剩余系和剩余类不同，剩余类是对整数进行的重新归类，这里我们记作Zn+，例如：Z6+={[1]6,[2]6,[3]6,[4]6,[5]6}，其中[1]6为所有模6余数为1的数集，[1]6={1,7,13...}\mathbb{Z_n^+}，例如：\mathbb{Z_6^+}=\{[1]_6,[2]_6,[3]_6,[4]_6,[5]_{6}\}，其中[1]_6为所有模6余数为1的数集，[1]_6=\{1,7,13...\}Zn+，例如：Z6+={[1]6,[2]6,[3]6,[4]6,[5]6}，其中[1]6为所有模6余数为1的数集，[1]6={1,7,13...}。

2.Paillier encryption

2.1 计算过程

Paillier通过公钥对明文进行加密，使用密钥对密文进行解密。其运算过程如下：
【注】：我们用amodb来表示a模b的运算a\mod b来表示a模b的运算amodb来表示a模b的运算
①：选取随机大素数p、q，p、q满足条件gcd(pq,(p−1)(q−1))=1,gcd()为求最大公约数函数;①：选取随机大素数p、q，p、q满足条件gcd(pq,(p-1)(q-1))=1,gcd()为求最大公约数函数;①：选取随机大素数p、q，p、q满足条件gcd(pq,(p−1)(q−1))=1,gcd()为求最大公约数函数;
②：设n=pq，λ=lcm(p−1,q−1),lcm()为求最小公倍数函数;②：设n=pq，\lambda=lcm(p-1,q-1),lcm()为求最小公倍数函数;②：设n=pq，λ=lcm(p−1,q−1),lcm()为求最小公倍数函数;
③：设L(x)=x−1n;③：设L(x)=\frac{x-1}{n};③：设L(x)=nx−1;
④：选取随机数g，g<n2,g∈Zn2∗，我们选g=n+1，g还要满足L(gλmod(n2))在模n的条件下存在乘法逆元④：选取随机数g，g<n^2,g\in\mathbb{Z_{n^2}^*}，我们选g=n+1，g还要满足L(g^\lambda\mod(n^2))在模n的条件下存在乘法逆元④：选取随机数g，g<n2,g∈Zn2∗，我们选g=n+1，g还要满足L(gλmod(n2))在模n的条件下存在乘法逆元
⑤：μ=(L(gλmod(n2))−1modn，即μ为L(gλmod(n2))在模n条件下的乘法逆元。⑤：\mu=(L(g^\lambda\ mod(n^2))^{-1}\mod n，即\mu为L(g^\lambda\mod(n^2))在模n条件下的乘法逆元。⑤：μ=(L(gλ mod(n2))−1modn，即μ为L(gλmod(n2))在模n条件下的乘法逆元。
⑥：生成公钥(n,g);⑥：生成公钥(n,g);⑥：生成公钥(n,g);
⑦：生成密钥(λ,μ);⑦：生成密钥(\lambda,\mu);⑦：生成密钥(λ,μ);
⑧：选取随机数γ,γ∈Zn2∗,且γ<n,即γ与n互质。⑧：选取随机数\gamma,\gamma\in\mathbb{Z_{n^2}^*},且\gamma<n,即\gamma与n互质。⑧：选取随机数γ,γ∈Zn2∗,且γ<n,即γ与n互质。
⑨：根据明文m，计算密文c。c=gmγnmod(n2);⑨：根据明文m，计算密文c\,\text 。c=g^m\gamma^n\mod(n^2);⑨：根据明文m，计算密文c。c=gmγnmod(n2);
⑩：根据密文c，计算明文m。m=[L(cλmod(n2))∗μ]modn。⑩：根据密文c，计算明文m\, 。m=[L(c^\lambda\mod(n^2))*\mu]\mod n。⑩：根据密文c，计算明文m。m=[L(cλmod(n2))∗μ]modn。

2.2 示例

我们为了计算方便，就不生成大素数了，假设明文为11，对11进行加密和解密。

假设随机生成素数p=5,q=7,满足gcd⁡(pq,(p−1)(q−1))=gcd⁡(35,24)=1;假设随机生成素数p=5,q=7,满足\gcd(pq,(p-1)(q-1))=\gcd(35,24)=1;假设随机生成素数p=5,q=7,满足gcd(pq,(p−1)(q−1))=gcd(35,24)=1;
n=pq=35,λ=lcm(4,6)=12;n=pq=35,\lambda=lcm(4,6)=12;n=pq=35,λ=lcm(4,6)=12;
g=36;g=36;g=36;
L(gλmod(n2))=L(3612mod(352))=421−135=12;L(g^\lambda\mod(n^2))=L(36^{12}\mod(35^2))=\frac{421-1}{35}=12;L(gλmod(n2))=L(3612mod(352))=35421−1=12;
12μ≡1(mod35)⟹μ=3;12\mu\equiv1(\mod 35)\implies \mu=3;12μ≡1(mod35)⟹μ=3;
公钥(n,g)=(35,36),密钥(λ,μ)=(12,3);公钥(n,g)=(35,36),密钥(\lambda,\mu)=(12,3);公钥(n,g)=(35,36),密钥(λ,μ)=(12,3);
选γ=3;选\gamma=3;选γ=3;
加密：密文c=gmγnmod(n2)=3611335mod(352)=327;密文c=g^m\gamma^n\mod(n^2)=36^{11}3^{35}\mod(35^2)=327;密文c=gmγnmod(n2)=3611335mod(352)=327;
解密：明文m=[L(cλmod(n2))∗μ]mod(n)其中，L(cλmod(n2))=[32712mod(352)]−135=27m=(27×μ)mod35=11。明文m=[L(c^\lambda\mod(n^2))*\mu]\mod(n)\\ 其中，L(c^\lambda\mod(n^2))=\frac{[327^{12}\mod(35^2)]-1}{35}=27\\ m=(27\times\mu) \mod 35=11。明文m=[L(cλmod(n2))∗μ]mod(n)其中，L(cλmod(n2))=35[32712mod(352)]−1=27m=(27×μ)mod35=11。

3. Affine Homomorphic Encryption

仿射同态加密(Affine Homomorphic Encryption)，通过映射来进行加密，仿射加密是线性变换，对字符型变量，可以将其映射为数值型变量。

3.1 计算过程

①：生成一个大的整数n；①：生成一个大的整数n；①：生成一个大的整数n；
②：生成大整数a、a−1、b,gcd⁡(a,n)=1,a−1为a的乘法逆元；②：生成大整数a、a^{-1}、b,\gcd(a,n)=1,a^{-1}为a的乘法逆元；②：生成大整数a、a−1、b,gcd(a,n)=1,a−1为a的乘法逆元；
③：加密算法E(x)=(ax+b)modn;③：加密算法E(x)=(ax+b)\mod n;③：加密算法E(x)=(ax+b)modn;
④：解密算法D(x)=[a−1(E(x)−b)]mod(n);④：解密算法D(x)=[a^{-1}(E(x)-b)]\mod(n);④：解密算法D(x)=[a−1(E(x)−b)]mod(n);

3.2 示例

为计算方便，这里用简单的示例来演示，假设明文为m={20,20,9,22}m=\{20,20,9,22\}m={20,20,9,22}。

生成大整数n=100；生成大整数n=100；生成大整数n=100；
生成大整数a=91，b=101，a−1=11;生成大整数a=91，b=101，a^{-1}=11;生成大整数a=91，b=101，a−1=11;
加密：密文c=(ax+b)mod100=(91x+101)mod100∣x∈m={21,21,20,3}密文c=(ax+b)\mod100=(91x+101)\mod100|_{x\in m}=\{21,21,20,3\}密文c=(ax+b)mod100=(91x+101)mod100∣x∈m={21,21,20,3}
解密：明文m=[a−1(x_−b)]modn=[11×(x_−101)]mod100∣x_∈c={20,20,9,22}明文m=[a^{-1}(x\_-b)]\mod n=[11\times(x\_-101)]\mod 100|_{x\_\in c}=\{20,20,9,22\}明文m=[a−1(x_−b)]modn=[11×(x_−101)]mod100∣x_∈c={20,20,9,22}

4. IterativeAffine Homomorphic Encryption

迭代仿射同态加密(IterativeAffine Homomorphic Encryption),通过迭代，对数据进行多次仿射加密。

4.1 计算过程

为计算方便，这里用简单的示例来演示，假设明文为m={20,20,9,22}m=\{20,20,9,22\}m={20,20,9,22}。
①：生成r个大整数元组(a,a−1,n)①：生成r个大整数元组(a,a^{-1},n)①：生成r个大整数元组(a,a−1,n)
②：加密算法E(x)=Er(Er−1((...(E1(x)...)))②：加密算法E(x)=E_r(E_{r-1}((...(E_1(x)...)))②：加密算法E(x)=Er(Er−1((...(E1(x)...)))
③：解密算法D(x)=D1(D2((...(Dr(E(x))...)))③：解密算法D(x)=D_1(D_{2}((...(D_r(E(x))...)))③：解密算法D(x)=D1(D2((...(Dr(E(x))...)))

4.2 示例

emmm天黑了，对不起，上手了。

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