Time Series Analysis
author：zoxiii

序列趋势分析

1、线性拟合
- （1）基本思想
- （2）公式
2、曲线拟合
- （1）基本思想
- （2）二次型拟合公式
- （3）指数型拟合公式
3、移动平均法
- （1）基本思想
- （2）n期中心移动平均法：分析趋势
- - n为奇数
  - n为偶数
- （3）n期移动平均法：预测
- （4）n期中心移动平均法---> 提取低阶趋势
- - 对xt=a+bt+εtx_t=a+bt+\varepsilon_txt=a+bt+εt进行n=2k+1n=2k+1n=2k+1期的中心移动平均
  - 对xt=a+bt+ct2+εtx_t=a+bt+ct^2+\varepsilon_txt=a+bt+ct2+εt进行n=2k+1n=2k+1n=2k+1期的中心移动平均
  - 对xt=a+bt+ct2+εtx_t=a+bt+ct^2+\varepsilon_txt=a+bt+ct2+εt进行n=2kn=2kn=2k期的中心移动平均
4、指数平滑法
- （1）简单指数平滑
- - 基本思想
  - 对序列修匀
  - 未来预测
- （2）Holt两参数指数平滑
- - 基本思想
  - 过去拟合：对原始数据序列和趋势序列修匀
  - 未来预测
- （3）Holt-Winters三参数指数平滑
- - 基本思想

【参考文献】王燕. 应用时间序列分析-第5版[M]. 中国人民大学出版社, 2019.

1、线性拟合

（1）基本思想

当序列的时序图出现显著的线性特征时，可使用线性模型去拟合

（2）公式

xt=a+bt+Itx_t=a+bt+I_t xt=a+bt+It
E(It)=0,Var(It)=σ2E(I_t)=0,Var(I_t)=\sigma^2 E(It)=0,Var(It)=σ2
其中随机波动：{It}\{I_t\}{It}

消除随机波动的影响之后该序列的长期趋势：Tt=a+btT_t=a+btTt=a+bt

2、曲线拟合

（1）基本思想

当序列的时序图出现非线性特征时，可使用曲线模型去拟合

（2）二次型拟合公式

xt=a+bt+ct2+It或xt=a+ct2+Itx_t=a+bt+ct2+I_t~~或~~x_t=a+ct2+I_t xt=a+bt+ct2+It 或 xt=a+ct2+It
t2=t2t2=t^2 t2=t2
E(It)=0,Var(It)=σ2E(I_t)=0,Var(I_t)=\sigma^2 E(It)=0,Var(It)=σ2

（3）指数型拟合公式

Tt=abtT_t=ab^t Tt=abt
取对数，令
Tt′=lnTt,a′=lna,b′=lnb,T_t'=lnT_t,a'=lna,b'=lnb, Tt′=lnTt,a′=lna,b′=lnb,
得到
Tt′=a′+b′tT_t'=a'+b't Tt′=a′+b′t

3、移动平均法

（1）基本思想

用一定时间间隔之间的平均值作为某一期的估计值

如何确定n？

考虑n=周期长度，如4、12
考虑平滑性，n越大拟合曲线越平滑
考虑趋势近期敏感程度，n越小趋势对近期变化越敏感

（2）n期中心移动平均法：分析趋势

n为奇数

x~t=1n(xt−n−12+xt−n−12+1+...+xt+n−12)\widetilde x_t=\frac{1}{n}(x_{t-\frac{n-1}{2}}+x_{t-\frac{n-1}{2}+1}+...+x_{t+\frac{n-1}{2}}) xt=n1(xt−2n−1+xt−2n−1+1+...+xt+2n−1)

n为偶数

x~t=1n(12xt−n2+xt−n2+1+...+xt−n2−1+12xt+n2)\widetilde x_t=\frac{1}{n}(\frac{1}{2}x_{t-\frac{n}{2}}+x_{t-\frac{n}{2}+1}+...+x_{t-\frac{n}{2}-1}+\frac{1}{2}x_{t+\frac{n}{2}}) xt=n1(21xt−2n+xt−2n+1+...+xt−2n−1+21xt+2n)

（3）n期移动平均法：预测

x~t=1n(xt+xt−1+...+xt−n+1)\widetilde x_t=\frac{1}{n}(x_t+x_{t-1}+...+x_{t-n+1}) xt=n1(xt+xt−1+...+xt−n+1)

（4）n期中心移动平均法—> 提取低阶趋势

对xt=a+bt+εtx_t=a+bt+\varepsilon_txt=a+bt+εt进行n=2k+1n=2k+1n=2k+1期的中心移动平均

x~t=12k+1∑i=−kkxt+i=12k+1∑i=−kk(a+bt+bi+εt+i)=a+bt\widetilde x_t \\ =\cfrac{1}{2k+1}\sum_{i=-k}^{k}x_{t+i} \\ =\cfrac{1}{2k+1}\sum_{i=-k}^{k}(a+bt+bi+\varepsilon_{t+i}) \\ =a+bt xt=2k+11i=−k∑kxt+i=2k+11i=−k∑k(a+bt+bi+εt+i)=a+bt

对xt=a+bt+ct2+εtx_t=a+bt+ct^2+\varepsilon_txt=a+bt+ct2+εt进行n=2k+1n=2k+1n=2k+1期的中心移动平均

x~t=12k+1∑i=−kkxt+i=12k+1∑i=−kk(a+bt+bi+c(t+i)2+εt+i)=a+bt+ct2+ck(k+1)3\widetilde x_t \\ =\cfrac{1}{2k+1}\sum_{i=-k}^{k}x_{t+i} \\ =\cfrac{1}{2k+1}\sum_{i=-k}^{k}(a+bt+bi+c(t+i)^2+\varepsilon_{t+i}) \\ =a+bt+ct^2+\cfrac{ck(k+1)}{3} xt=2k+11i=−k∑kxt+i=2k+11i=−k∑k(a+bt+bi+c(t+i)2+εt+i)=a+bt+ct2+3ck(k+1)

可以完整地提取二次趋势信息，但拟合序列和原序列会有一个截距的小偏差

对xt=a+bt+ct2+εtx_t=a+bt+ct^2+\varepsilon_txt=a+bt+ct2+εt进行n=2kn=2kn=2k期的中心移动平均

x~t=12k[∑i=−kkxt+i−12(xt−k+xt+k)]=12k[∑i=−kk(a+bt+bi+c(t+i)2+εt+i)−12(a+bt−bk+c(t−k)2)=εt−k+a+bt+bk+c(t+k)2+εt+k]=12k[2ka+2kbt+2kct2+2ck2(k+1)3−12(2a+2bt+2ct2+2ck2)]=12k[(2k−1)a+(2k−1)bt+(2k−1)ct2+23ck3+23ck2−ck2]=12k[(2k−1)a+(2k−1)bt+(2k−1)ct2+ck2(2k−1)3]=2k−12k(a+bt+ct2+ck23)\widetilde x_t \\ =\cfrac{1}{2k}[\sum_{i=-k}^{k}x_{t+i}-\cfrac{1}{2}(x_{t-k}+x_{t+k})] \\ =\cfrac{1}{2k}[\sum_{i=-k}^{k}(a+bt+bi+c(t+i)^2+\varepsilon_{t+i})-\cfrac{1}{2}(a+bt-bk+c(t-k)^2)=\varepsilon_{t-k}+a+bt+bk+c(t+k)^2+\varepsilon_{t+k}] \\ =\cfrac{1}{2k}[2ka+2kbt+2kct^2+\cfrac{2ck^2(k+1)}{3}-\cfrac{1}{2}(2a+2bt+2ct^2+2ck^2)] \\ =\cfrac{1}{2k}[(2k-1)a+(2k-1)bt+(2k-1)ct^2+\cfrac{2}{3}ck^3+\cfrac{2}{3}ck^2-ck^2] \\ =\cfrac{1}{2k}[(2k-1)a+(2k-1)bt+(2k-1)ct^2+\cfrac{ck^2(2k-1)}{3}] \\ =\cfrac{2k-1}{2k}(a+bt+ct^2+\cfrac{ck^2}{3}) xt=2k1[i=−k∑kxt+i−21(xt−k+xt+k)]=2k1[i=−k∑k(a+bt+bi+c(t+i)2+εt+i)−21(a+bt−bk+c(t−k)2)=εt−k+a+bt+bk+c(t+k)2+εt+k]=2k1[2ka+2kbt+2kct2+32ck2(k+1)−21(2a+2bt+2ct2+2ck2)]=2k1[(2k−1)a+(2k−1)bt+(2k−1)ct2+32ck3+32ck2−ck2]=2k1[(2k−1)a+(2k−1)bt+(2k−1)ct2+3ck2(2k−1)]=2k2k−1(a+bt+ct2+3ck2)

4、指数平滑法

（1）简单指数平滑

基本思想

适用于既无长期趋势，又无季节效应的序列

对序列修匀

x~t=αxt+α(1−α)xt−1+α(1−α)2xt−2+...\widetilde x_t=\alpha x_t+\alpha(1-\alpha)x_{t-1}+\alpha(1-\alpha)^2x_{t-2}+... xt=αxt+α(1−α)xt−1+α(1−α)2xt−2+...
x~t=αxt+(1−α)x~t−1\widetilde x_t=\alpha x_t+(1-\alpha)\widetilde x_{t-1} xt=αxt+(1−α)xt−1
平滑系数0<α<10 < \alpha < 10<α<1

指定x~0=x1\widetilde x_0=x_1x0=x1

未来预测

根据预测公式：
x^T+1=x~T\hat x_{T+1}=\widetilde x_T x^T+1=xT
x^T=x~T−1\hat x_T=\widetilde x_{T-1} x^T=xT−1
1期预测值：
x^T+1=x~T=αxT+α(1−α)xT−1+α(1−α)2xT−2+...=αxT+(1−α)x^T\hat x_{T+1} \\ =\widetilde x_T \\ =\alpha x_T+\alpha(1-\alpha)x_{T-1}+\alpha(1-\alpha)^2x_{T-2}+... \\ =\alpha x_T+(1-\alpha)\hat x_T x^T+1=xT=αxT+α(1−α)xT−1+α(1−α)2xT−2+...=αxT+(1−α)x^T
2期预测值：
x^T+2=αxT+1+α(1−α)xT+α(1−α)2xT−1+...=αx^T+1+(1−α)x^T+1=x^T+1\hat x_{T+2} \\ =\alpha x_{T+1}+\alpha(1-\alpha)x_T+\alpha(1-\alpha)^2x_{T-1}+... \\ =\alpha \hat x_{T+1}+(1-\alpha)\hat x_{T+1} \\ =\hat x_{T+1} x^T+2=αxT+1+α(1−α)xT+α(1−α)2xT−1+...=αx^T+1+(1−α)x^T+1=x^T+1
即未来预测的值都等于序列平滑的最后一期的值：
x^T+l=x^T+1=x~T,l≥2\hat x_{T+l}=\hat x_{T+1}=\widetilde x_T,l \ge 2 x^T+l=x^T+1=xT,l≥2

（2）Holt两参数指数平滑

基本思想

适用于有长期趋势，无季节效应的序列
原始数据序列{xt}\{x_t\}{xt},
趋势序列{rt}\{r_t\}{rt}

x^t=xt−1+rt−1\hat x_t=x_{t-1}+r_{t-1} x^t=xt−1+rt−1

过去拟合：对原始数据序列和趋势序列修匀

x~t=αxt+(1−α)(x~t−1+rt−1)\widetilde x_t=\alpha x_t+(1-\alpha)(\widetilde x_{t-1}+r_{t-1}) xt=αxt+(1−α)(xt−1+rt−1)
rt=γ(x~t−x~t−1)+(1−γ)rt−1r_t=\gamma(\widetilde x_t-\widetilde x_{t-1})+(1-\gamma)r_{t-1} rt=γ(xt−xt−1)+(1−γ)rt−1
平滑系数0<α,γ<10 < \alpha,\gamma < 10<α,γ<1

指定x~0=x1,r0=xn+1−x1n\widetilde x_0=x_1,r_0=\frac{x_{n+1}~~-x_1}{n}x0=x1,r0=nxn+1 −x1

未来预测

向前lll步的预测值为：
x^T+l=x~T+l∗rT\hat x_{T+l}=\widetilde x_T+l*r_T x^T+l=xT+l∗rT

（3）Holt-Winters三参数指数平滑

基本思想

适用于一定有季节效应，但长期趋势可有可无的序列

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