【Java算法】分治算法
1.什么是分治算法?
分治法(Divide-and-Conquer)是一种很重要的算法。
分治就是“分而治之”的意思,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题,直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础,如排序算法(快速排序,归并排序),以及汉诺塔等等。
2.分治法的步骤
分治算法用递归来实现,而 在每一层递归上都有三个步骤:
- 分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立且与原问题形式相同的子问题
- 解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题
- 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。
3.分治法的设计模式如下:
if |P|≤n0then return(ADHOC(P))
//将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
for i←1 to k
do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) 递归解决Pi
T ← MERGE(y1,y2,…,yk) 合并子问题
return(T)
其中|P|
表示问题P的规模;n0
为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。
ADHOC(P)
是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P。因此,当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)
求解。
算法MERGE(y1,y2,…,yk)
是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。
4.分治算法经典例子——-汉诺塔
汉诺塔问题:如图有A、B、C三个柱子,要求把A柱子上的圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定,在小圆盘上不能放大圆盘,在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。
当A柱子上有两个盘子时,我们先把上面的小圆盘移动到B柱子,再把大圆盘移动到C柱子,最后把B柱子上的圆盘移动到C就完成了。当A的圆盘上越多时,问题就越难解决,我们可以借助分治法来解决。
分:
我们可以把汉诺塔游戏看成是两种情况:
情况1:如果是有一个盘, 我们直接从A移动到C即A->C;
情况2:如果我们有 n >= 2 情况,我们总是可以看做是两个盘 :第一个盘是最下边的第n个盘 ,第二个盘是上面的(n-1)个盘。
治:
当我们把n>=2看成是两个盘时,我们就应该这么解决:
1)先把 最上面的盘从A移动到B即 A->B;
2)把最下边的盘 从A移动到C即A->C;
3)把B塔的所有盘 从 B移动到C即B->C;
5.汉诺塔代码实现:
public class HanoiTower {public static void main(String[] args) {//测试3个盘子hanoiTower(3,'A','B','C');}private static void hanoiTower(int i, char a, char b, char c) {//如果只有一个盘if(i==1){System.out.println("第1个盘"+a+"->"+c);}else{//n>=2的情况//1.先把最上面的所有盘从A->B,移动过程会使用到chanoiTower(i-1,a,c,b);//把最下边的盘从A->CSystem.out.println("第"+i+"个盘从"+a+"->"+c);//3.把B塔的所有盘从B->C,移动过程使用到ahanoiTower(i-1,b,a,c);}}
}
如果关于递归、快排、归并排序不太懂,可以看我写的文章:
递归文章:https://blog.csdn.net/weixin_42369886/article/details/104691381
快速排序文章:https://blog.csdn.net/weixin_42369886/article/details/104816252
归并排序文章:https://blog.csdn.net/weixin_42369886/article/details/104834635
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