基于小世界网络的Cov-19扩散问题可视化研究

摘要：近年来，疾病传播问题得到了广泛的研究。一般来说，疾病的传播被认为是从一个人到另一个人的过程。目前，关于传染病在复杂网络上传播的研究很多。事实上，在现实生活中，传染病在人群网络中的传播是极其复杂的。由于社交网络呈现了一定的小世界网络特性，基于对现实中Covid-19传染病传播案例的研究，大部分大规模扩散的案例均是由于社交引起的，因此本文根据以上分析，基于WS小世界网络构建传染病传播模型并进行了可视化的传播分析，发现了病毒在小世界网络中的传播特点，并且以此为依据提出了防止新型冠状病毒疫情再次爆发的一些措施。
关键词：疾病传播；复杂网络；WS

背景：
自从新型冠状病毒covid-19爆发以来，各国家的经济发展都受到了不同程度的影响，人们的社交和生活也都受到了巨大的改变，为了消除新型冠状病毒covid-19，我们需要建立模型对它的传播过程进行研究[1]，而现实中的社交网络具有一定的小世界网络的特性，因此我们能够通过建立小世界网络模拟病毒在社交网络中的传播。如果一个网络具有短的平均路径长度和高的聚类系数，则称该网络具有小世界性[2]。小世界特性的有名科学假设是“六度分离”理论；该理论最早是在1967年由美国哈佛大学心理学家Milgram通过社会调查做出的推断，是指在大多数人中，任意两个素不相识的人通过朋友的朋友，平均最多通过5个人就能够彼此认识。事实上，现在的世界真的很小。随着现代化交通通讯工具——民航、高铁、5G技术等的快速发展，人们的活动半径快速增长，人与人之间的时空距离变得更小，我们实际上已经生活在了超小世界中。因此，有学者提出“六度分离”已经变成了“三度分离”。这些交通通信方式给人们带来便利的同时，也会带来一定的灾难。小世界网络使得疾病或谣言等的传播网络的半径也变得越来越小，从而使得疾病传播和谣言的扩散等更加容易。这里面主要是因为小世界网络存在一些起关键作用的长程链接，网络上的行为可以很快的通过这些长程链接扩散到整个网络。其实，这就是所谓的弱链接优势现象[3]。这也解释了当前COVID-19新型冠状病毒的传播速度如此之快和范围如此之广阔的原因。
COVID-19新型冠状肺炎病毒的传播和其携带者的所在区域和活动范围有着紧密关系[4]。因此，探索COVID-19新型冠状病毒在小世界网络中传播的速度和区域性特点就显得尤为重要。利用复杂网络理论来指导抗击新冠疾病具有极其重要的现实意义。经过以上分析，我们构建了基于认知信息的传染病传播模型。然后，根据构建的模型，模拟了疾病在WS小世界网络中的传播。

2、模型说明
小世界网络模型的构建：
首先从一个规则的网络开始。这个网络中的N个节点排成正多边形，每个节点都与离它最近的2K个节点相连。其中K是一个远小于N的正整数。
选择网络中的一个节点，从它开始（它自己是1号节点）将所有节点顺时针编号，再将每个节点连出的连接也按顺时针排序。然后，1号节点的第1条连接会有 0<p<1的概率被重连。重连方式如下：保持1号节点这一端不变，将连接的另一端随机换成网络里的另一个节点，但不能使得两个节点之间有多于1个连接。
重连之后，对2号、3号节点也做同样的事（如果这其中有连接已经有过重连的机会，就不再重复），直到绕完一圈为止。
再次从1号节点的第2条连接开始，重复第2个步骤和第3个步骤，直到绕完一圈为止。
再次从1号节点开始，重复第4个步骤，直到所有的连接都被执行过第2个步骤（重连的步骤）。
由于NK个连接里每个连接都恰好有一次重连的机会，所以这个过程最后总会结束。最后得到的网络称为WS模型网络。

Figure 1 . by reconnecting nodes we can get the WS small world network
感染模型的构建：
首先判断是否有被感染的相邻节点，若无则本个time内不存在被感染风险，若有则存在被感染的机会，并利用软件产生随机数在[0,1]区间内，设该值为D，将D与感染概率A做比较，D大于A时不会被感染，D小于或等于A时节点被标记为感染节点。

Figure 2 . flow diagram of infecting a node

3、实验仿真：
由于小世界网络的构建中重连的edge和感染过程中的random number与感染概率比较大小的结果具有一定的概率性，因此在每次传播实验的过程中，我们设置了5次相同系统参数的重复实验，每个结果都是对5次实验的平均。

实验参数设计：
初始时各node的相邻node参数设置为neighbor=6
初始时的感染node参数设置为init_infect=1
病毒的感染概率参数设置为infectrate=0.5
通过改变小世界网络中的各条edge的重连概率参数alpha分别为1,0.5，0.3,0.1，输出每一个时间段已感染病毒的人数占总人数比例的矩阵，并且以已感染病毒的人数占总人数比例作为Y轴，时间段作为X轴进行图像的绘制。通过单次传播人数的峰值以及感染全部个体需要的传播次数对传播病毒的过程进行分析。
首先设置小世界网络中的各条edge的重连概率参数alpha为1，单次传播人数的峰值为0.42，并且感染全部个体需要5次传播。

Figure 3 . alpha=1’s ratio graph

改变小世界网络中的各条edge的重连概率alpha为0.5，发现病毒减慢了传播速度，单次传播人数的峰值为0.34，并且感染全部个体需要6次传播.相比于alpha=1的情况，单次传播人数的峰值变小，感染全部个体需要的传播次数变大。

Figure 4 . alpha=0.5’s ratio graph

改变小世界网络中的各条edge的重连概率为0.3，发现病毒减慢了传播速度，单次传播人数的峰值为0.34，并且感染全部个体需要7次传播。而alpha=0.5时仅仅需要6次传播。

Figure 5 . alpha=0.3’s ratio graph

改变小世界网络中的各条edge的重连概率为0.1，发现病毒减慢了传播速度，单次传播人数的峰值为0.22，并且感染全部个体需要8次传播。而alpha=0.3时仅仅需要7次传播，并且其单次传播人数的峰值为0.34。

Figure 6 . alpha=0.1’s ratio graph

观察以上数据图我们不难发现：病毒的传播可以大致分为三个阶段：1、初始阶段：病毒单次感染人数的峰值低，在此阶段不论小世界网络中的各条edge的重连概率alpha是大还是小，单次感染人数的变化都相差不大。2、快速增长阶段：病毒单次感染人数显著变大，当小世界网络中的各条edge的重连概率alpha越大则病毒单次感染人数的峰值越高。3、结束阶段：病毒单次感染人数显著变小，并逐渐趋于0。
为了分析病毒单次感染人数变化规律的原因，我绘制了病毒传播期间各时间段的图，图中红色点为已感染节点，绿色点为未感染节点，节点的体积越大，表示节点的degree越大，即与该节点相连的节点数越多。
以下以小世界网络中的各条edge的重连概率alpha=1的情况为例进行展示：

Figure 7 .graph of infecting procedure

分析传播过程的图片我们不难发现：当感染节点和未感染节点在整个网络中一起保持较为均匀的分布时，病毒传播的速度是最快的，此时的单次传播人数达到了峰值。因此限制病毒在小世界网络中传播首先要限制病毒的活动范围，联想到现实世界中，全世界各国家采用的封锁国家、封锁城市、封锁学校、封锁小区，均是为了限制病毒的活动范围，防止病毒向安全区域扩散导致后期的疫情爆发，这样的封锁措施确实起到了很好的防疫作用。
聚类系数是研究网络节点间相关情况的一项重要指标。某一节点的聚类系数的含义：该节点全部邻居节点之间的实际连边数，与这些邻居节点间最大可能连边数的比值。而所有节点的聚类系数的平均值就构成了网络的聚类系数C，由定义知 0＜C＜1。当 C=0时，网络无连接；当C=1时，网络为全局耦合网络。聚类系数表征的是网络节点间相互关联的紧密情况，也即某一节点的邻居节点依然是邻居节点的概率是多大，它是网络的局部统计特性。
有较高的聚类特性是小世界网络的重要特征之一。公式（1）为小世界网络的聚类系数，其中假设初始时各node都与相邻的2K个node相连接，p为构建WS小世界网络时各条edge的重连概率。

小世界网络较高的聚类特性意味着在小世界网络中疾病容易聚集爆发，这同样解释了病毒在小世界网络中传播的第二阶段具有很高的单次传染人数的特点。

结论：
社会网络作为典型的复杂网络，具有小世界、无标度、高聚类和弱链接优势等特性。小世界特性和弱链接优势加速扩散；同时小世界网络的高聚类特性使得传播具有家庭或小区集聚性。针对近期新型冠状病毒疫情，病毒携带者带有一定的潜伏期，这种潜伏期相当于一种网络上传播行为的时滞，这种时滞性也为新型肺炎的防控带了的隐患和挑战。以复杂网络理论作为指导，防控疾病进一步传播的有效举措可以从社会网络的特性上去解读：首先发现感染源，控制感染源，切断长程传播链接（切断航空、铁路、高速）防控大范围蔓延；其次城市、社区、小区到家庭逐级隔离防控不同社团间的传播，最大限度减少传播带来的损失。
小世界网络具有较高的聚类系数，而现实网络通常也具有很高的聚类系数，简单来说就是你的朋友之间很可能也是朋友关系。人群有很强的聚类（很强的社团结构）特点，对应的社会网络也是高聚类的。小到一个家庭、小区、市场，大到一个城市、国家，不同尺度上都有很明显的聚类特点。同时在疾病蔓延阶段，家庭、社区之间的接触加速传播的速度，扩大传播范围。武汉华南海鲜市场是一个人群集聚之地，新型肺炎患者首先出现在这里，并且具有以家庭或小区集聚感染的现象，其他省市感染者以家庭或朋友关系圈集聚的现象也有很多报导这些都说明新型肺炎传播有很强的聚类特点，这一点和2003年的SARS类似。针对社会网络的高聚类特点，一旦一个社团中发现感染者，应立即对其进行隔离并对社团中的人员进行隔离观察，以有效防止扩散传播的可能。
不足与展望：
由于本文假设感染者可以在一个时间步内感染与它相邻的所有易感者，这是一种理想的假设条件。实际情况中，一个感染者在一个时间步内只会接触有限几个易感者，而且人们之间的接触模式、接触频率等也会有差异，个体心理因素也会影响传染病的传播等等。并且随着科学水平的进步，针对病毒的特效药以及疫苗不断研制成功，进而降低了病毒传播的概率并且提高了人群的免疫能力使得病毒无法在所有人当中传播，政府的强制居家隔离措施和重点人群核酸筛查措施也进一步控制了已经感染病毒的个体在社群中传播病毒的可能性。对于这些情形，未来将做进一步的深入研究。

参考文献：
[1] Sachak-Patwa R , Fadai N T . Understanding viral video dynamics through an epidemic modelling approach[J]. Physica A Statal Mechanics & Its Applications, 2018:S0378437118301699.
[2] Watts DJ, Strogatz SH., Collective dynamics of ‘small-world’ networks. Nature， 1998, 393 (6684): 440-442.
[3]Granovetter M, The strength of weak ties. Amer. J. Sociol.,1973, 78, 1360-80.
[4]Wu M , Han S , Sun M , et al. How the distance between regional and human mobility behavior affect the epidemic spreading[J]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2017, 492:1823-1830.

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