【复杂网络学习笔记】1：基本知识和小世界网络初步建立

这学期和李青老师学习复杂网络的一些基础知识，并进行建模。

复杂网络在生活中很常见，这学期主要学习其中的两种模型——小世界模型和无标度模型。

著名的小世界实验发现了社会群体中人和人之间六度分离的关系(任意两个人之间的平均路径经过了约6个中间人)。如何解释一个人所认识的人并不多，但是却总是有六度分离的现象，就有人提出了小世界的模型。

即人和人之间的社会是由这样的朋友圈组成的。

一般使用这两个特征来衡量网络：

①平均路径长：网络中所有节点对的路径长度的平均值。

②聚类系数：假设某个节点有k条边，则这k条边连接的节点（k个）之间最多可能存在的边的条数为k(k-1)/2，用实际存在的边数除以最多可能存在的边数得到的分数值，定义为这个节点的聚类系数。聚类系数是网络的局部特征，反映了相邻两个人之间朋友圈子的重合度，即该节点的朋友之间也是朋友的程度。

小世界网络的特征就是平均路径长较短，而聚类系数较大。

建立小世界模型，可以通过下面两个步骤：

①形成N最近邻网络：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个结点都与其左右相邻的各k/2个结点相连(k为偶数)。

②随机化重连：以概率p随机地重新连接网络中的每个边。即：将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个结点。规定，任意两个不同的结点之间至多有一条边，且每个结点都不能有边与自身相连。

下面是今天写的建立小世界模型的代码，随机化重连的实现还没有想好该怎么写，所以先注释了，明天去问李青老师。

这次用的编译器不是MinGW了而是VS了，代码有了些很有意思的地方。比如VS找不到NULL的宏定义，就自己写了它的宏定义之类的。

*通用异常类Error.h

#ifndef ERROR_H
#define ERROR_H
#include<iostream>
using namespace std;
//通用异常类
class Error
{
private:char message[100];//异常信息
public:Error(const char *mes = "一般性异常!"); //构造函数 ~Error(void) {}; //析构函数 void Show() const; //显示异常信息
};Error::Error(const char *mes)
{strcpy_s(message,100, mes); //复制异常信息
}void Error::Show()const
{cout << message << endl; //显示异常信息
}
#endif

*无向图邻接网的边节点类Arc.h

#ifndef NULL
#define NULL (void *)0
#endif#ifndef ARC_H
#define ARC_H//边节点类
struct Arc
{int iNum; //弧的另一端的节点的序号Arc* pNext; //指向下一边节点的指针Arc(int n, Arc* next); //构造序号为n，下一节点指向next的边节点
};
Arc::Arc(int n,Arc* next)
{iNum = n;pNext = next;
}
#endif

*无向图邻接表的顶点节点类Vex.h

#ifndef NULL
#define NULL (void *)0
#endif#ifndef VEX_H
#define VEX_H
#include "arc.h"
struct Vex
{Arc* pFirst; //指向边节点表Vex();//空构造
};
Vex::Vex()
{pFirst = NULL;
}
#endif

*邻接网络(小世界模型)类NetWork.h

#ifndef NULL
#define NULL (void *)0
#endif#ifndef NETWORK_H
#define NETWORK_H
#include "vex.h"
#include "error.h"//邻接网络(小世界模型)类
struct NetWork
{int vexNum; //顶点的数目Vex* vexTable; //顶点表NetWork(int v); //构造有v个顶点的空表void Clear(); //清空边节点void BuildVex(int a, int b); //构造从a到b的边void Step1(int n); //清空全表，然后形成n最近邻网络void Step2(int r); //以概率r%进行随机化重连void Show(); //简易的显示该网络
};NetWork::NetWork(int v) //构造有v个顶点的空表
{vexTable = new Vex[vexNum=v];
}void NetWork::Clear() //清空边节点
{Arc* p;for (int i = 0; i < vexNum; i++){p = vexTable[i].pFirst; //从第一个边节点开始while (p != NULL){vexTable[i].pFirst = p->pNext; //first域连到p后去delete p; //删掉pp = vexTable[i].pFirst; //再次指向first的节点}}
}void NetWork::BuildVex(int a, int b) //建立从a到b的边
{if (a < 0 || b < 0 || a >= vexNum || b >= vexNum)throw Error("数组越界");if (a == b)throw Error("不能自身成环");Arc* p;bool k = 0; //k=1时表示从a到b有边p = vexTable[a].pFirst; //不妨看a->b有没有，从第一个边节点开始while (p != NULL) //检索是否已经有边{if (p->iNum == b) //检索到，做标记并跳出{k = 1;break;}p = p->pNext; //没检索到，继续找}if (k == 0) //如果没有边，建立之{vexTable[a].pFirst = new Arc(b, vexTable[a].pFirst); //a能找到b同时vexTable[b].pFirst = new Arc(a, vexTable[b].pFirst); //b也要能找到a}
}void NetWork::Step1(int n) //清空全表，然后形成n最近邻网络
{if (n > vexNum - 1)throw Error("n超限");if (n % 2 != 0)throw Error("n最近邻网络中n应为偶数");Clear(); //清空for (int i = 0; i < vexNum; i++) //对每个节点i{for (int j = 1; j <= n / 2; j++) //建立其n最近邻关系{BuildVex(i, (i + j) % vexNum); //向后第j个BuildVex(i, (i - j + vexNum) % vexNum); //向前第j个}}
}void NetWork::Step2(int r) //以概率r%进行随机化重连
{if (r<0 || r>100)throw Error("随机化重连的概率不合法");int a, b; //辅助游标Arc* p; //辅助指针for (a = 0; a < vexNum; a++) //对于每个节点{p = vexTable[a].pFirst; //从第一条边开始while (p != NULL) //对于每条边{if (rand() % 100 < r) //生成0~99的伪随机数，它小于r的概率应为r%{//这里是随机化重连过程//删除a->旧点和旧点->a的关系//随机地找一个之前和a无连接的新点//增加a->新点和新点->a的关系}}}
}void NetWork::Show() //显示
{Arc* p; //辅助指针for (int i = 0; i < vexNum; i++){cout << i << ":";p = vexTable[i].pFirst; //从第一条边开始while (p != NULL) //对于每条边{cout <<"->"<< p->iNum;p = p->pNext;}cout << endl;}
}
#endif

*程序入口xsj.cpp

//#pragma warning(disable:4996) //忽略strcpy()函数不安全的warnning
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include "NetWork.h" //邻接网络(小世界模型)类
using namespace std;#define VEXNUM 100 //测试的节点个数
#define N 4 //最近邻网络个数
#define R 60 //随机化重连的概率*100int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{try{NetWork *pNet = new NetWork(VEXNUM); //建立VEXNUM个节点的空邻接网络pNet->Step1(N); //形成N最近邻网络//pNet->Step2(R); //以概率R%随机化重连pNet->Show(); //显示看一下system("pause");return 0;}catch (Error er){er.Show();}
}

将VEXNUM设置为100(全部完成后应该设置为1000以上)，运行看一下当前结果是否正确。

部分运行结果：

看一下边缘是否正确

可以看到是一个合格的4最近邻网络。

祝好。

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