Java实现埃拉托色尼筛选法

1 问题描述
Compute the Greatest Common Divisor of Two Integers using Sieve of Eratosthenes.

翻译：使用埃拉托色尼筛选法计算两个整数的最大公约数。（PS：最大公约数也称最大公因数，指两个或多个整数共有约数中最大的一个）

2 解决方案
2.1 埃拉托色尼筛选法原理简介
引用自百度百科：

埃拉托色尼筛选法(the Sieve of Eratosthenes)简称埃氏筛法，是古希腊数学家埃拉托色尼(Eratosthenes 274B.C.～194B.C.)提出的一种筛选法。是针对自然数列中的自然数而实施的，用于求一定范围内的质数，它的容斥原理之完备性条件是p=H~。

具体求取质数的思想：

（1）先把1删除（现今数学界1既不是质数也不是合数）

（2）读取队列中当前最小的数2，然后把2的倍数删去

（3）读取队列中当前最小的数3，然后把3的倍数删去

（4）读取队列中当前最小的数5，然后把5的倍数删去

（5）如上所述直到需求的范围内所有的数均删除或读取

下面看一下执行上述步骤求不大于100的所有质数的一个示意图：

2.2 具体编码
本文求取两个数的最大公约数，采用质因数分解法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，（24，60）=12。

此处，第一步，先使用埃拉托色尼筛选法求取不大于数A的所有质数，然后从这些质数中选取A的所有质因数；第二步，依照第一步思想求取数B的所有质因数；第三步，求取数A和数B公共质因数；第四步，输出数A和数B的最大公约数。

具体代码如下：

package com.liuzhen.ex1;import java.util.Scanner;public class SieveOfEratosthenes {//返回一维数组，数组中的元素为不大于n的所有质数public static int[] getPrime(int n){int[] result1 = new int[n];   //定义一个一维数组，并从第2个元素依次初始化为相应的自然数for(int i = 2;i < n+1;i++){    result1[i-1] = i;}for(int i = 2;i < n;i++){for(int j = i+1;j < n+1;j++){if(j % i == 0)          //如果j能够整除i，使result[j-1]等于0result1[j-1] = 0;}}int[] result2 = getNoneZero(result1);  //除去result数组中所有0元素return result2;     //数组中非零元素即为不大于n的所有质数}//返回一维数组，该数组的元素为参数数组中所有不为0的元素值public static int[] getNoneZero(int[] A){int len = 0; for(int i = 0;i < A.length;i++){if(A[i] != 0)len = len+1;}int[] result = new int[len];int k = 0;for(int i = 0;i < A.length;i++){if(A[i] != 0){result[k] = A[i];k++;}}return result;}//求取一个数n的所有质因数(eg:24=2×2×2×3,则result[] = {2,2,2,3})public static int[] getNprime(int n){int[] primes = getPrime(n);int[] result;        //最终返回结果集int len = 0;         //返回结果集数组长度，初始化为0for(int i = 0;i < primes.length;i++){int temp = n;while(temp % primes[i] == 0){temp = temp/primes[i];len++;}}result = new int[len];int k = 0;for(int i = 0;i < primes.length;i++){int temp = n;while(temp % primes[i] == 0){temp = temp/primes[i];result[k] = primes[i];k++;}}return result;}//返回两个一维数组中所有共同元素public static int[] getCommonPrime(int[] A , int[] B){int[] result;int lenA = A.length;int lenB = B.length;if(lenA < lenB){result = new int[lenA];for(int i = 0;i < lenA;i++){int temp = A[i];for(int j = 0;j < lenB;j++){if(temp == B[j]){result[i] = A[i];B[j] = 0;break;}}}}else{result = new int[lenB];for(int i = 0;i < lenB;i++){int temp = B[i];for(int j = 0;j < lenA;j++){if(temp == A[j]){result[i] = B[i];A[j] = 0;break;}}}}int[] result1 = getNoneZero(result);return result1;}//求取数A和B的最大公约数public static void getMaxCommonDivisor(int A,int B){int[] primesA =  getNprime(A);  //数A所有质因子int[] primesB = getNprime(B);   //数B所有质因子int[] resultPrime = getCommonPrime(primesA,primesB);  //数A和数B的公共质因数int maxCommonDivisor = 1;System.out.println(A+"和"+B+"的公共质因数为：");for(int i = 0;i < resultPrime.length;i++){maxCommonDivisor *= resultPrime[i];System.out.print(resultPrime[i]+"\t");}System.out.println();System.out.print(A+"和"+B+"的最大公约数为："+maxCommonDivisor);}public static void main(String[] args){System.out.println("请输入数字A和数字B的值：");Scanner in = new Scanner(System.in);int a = in.nextInt();int b = in.nextInt();getMaxCommonDivisor(a,b);}
}

运行结果：

请输入数字A和数字B的值：
60
100和60的公共质因数为：2    5
100和60的最大公约数为：20请输入数字A和数字B的值：
48
60和48的公共质因数为：2    3
60和48的最大公约数为：12请输入数字A和数字B的值：
54
120和54的公共质因数为：3
120和54的最大公约数为：6

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