【组合数+隔板法】2021牛客寒假算法基础集训营5 B 比武招亲（上）

组合数+隔板法

比武招亲（上）

题目大意

解题思路

枚举差值 d d d。

难点在于用 x x x 个数字，构造一个单调不减的序列，序列元素个数为 m − 2 m-2 m−2。

理解一

运用隔板法，把相同的数字从小到大看作一堆一堆的，隔板插在不同的堆之间。

如数字从 [ 1 , 3 ] [1,3] [1,3] 中选 4 4 4 个时，方法可以如下：

1 | 2 2 | 3

但也有这样的情况：

1 1 1 | | 3

可以看到，隔板可以连在一起，即不选其中的某个数。

原来的空位画出来如下：

□ 1 □ 1 □ 1 □ 3 □

此时的情况如下：

□ 1 □ 1 □ 1 | | 3 □

（两个隔板只占了一个空位的位置）

可以看到，现在的空位是 m − 1 m - 1 m−1 个，但这种隔板相连的情况就不好计算。

因此，我们看作给每个隔板"批发"了一个空位，并且是固定隔板的左边。

即：

现在的 □ | = 原来的 |
现在的 □ □ | = 原来的 □ |

这样的话空位数应该是 m − 1 + d m - 1 + d m−1+d。

但考虑到，第一个隔板只能从第二个位置开始放，否则我们前面假设好的固定在左边的空位就没了，因此最后空位数为 m − 1 + d − 1 = m − 2 + d m - 1 + d - 1 = m-2+d m−1+d−1=m−2+d。

所以最后的选法有 C m − 2 + d d C^d_{m-2+d} Cm−2+dd 种。

理解二

感觉上面的比较抽象，下面再贴一个博主的解释：

注意事项

组合数要预处理，否则会 T。

参考代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<climits>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<deque>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<stack>
//#define LOCAL  //提交时一定注释
#include<bits/stdc++.h>
#define VI vector<int>
#define io ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const LL INF = 1e18;
const int N = 1e6 + 10;
const LL mod = 998244353;
const int p = 26;inline int readint() {int x; scanf("%d", &x); return x;}LL fac[N];LL qm(LL a, LL b, LL c) {LL res = 1;while (b) {if (b & 1) res = res * a % c;a = a * a % c;b >>= 1;}return res;
}//对阶乘预处理
void f() {fac[0] = 1;fac[1] = 1;for(int i = 2; i <= N; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
}LL inv(LL x) {return qm(x, mod - 2, mod);
}LL C(LL n, LL m) {//    LL up = 1, dn = 1;
//    for(int i = 1; i <= m; i++) {//        up = up * (n + 1 - i) % mod;
//        dn = dn * i % mod;
//    }
//    return up * qm(dn, mod - 2, mod) % mod;return fac[n] * inv(fac[n - m]) % mod * inv(fac[m]) % mod;
}int main() {#ifdef LOCALfreopen("input.txt", "r", stdin);
//   freopen("output.txt", "w", stdout);
#endifLL n, m;scanf("%lld%lld", &n, &m);f();LL ans = 0;for(int d = 1; d <= n - 1; d++) {ans = (ans + (d * (n - d) % mod * C(m - 2 + d, d) % mod)) % mod;}printf("%lld", ans);return 0;
}

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