《普林斯顿微积分读本》笔记-第4章求解多项式的极限问题
第 4 章 求解多项式的极限问题
4.1 x->a时的有理函数的极限
limx→ap(x)q(x)\lim_{x \rightarrow a}\frac{p(x)}{q(x)} x→alimq(x)p(x)
(1) 首先总是应该尝试用a的值替换x,如果分母不为0,那么一切顺利,极限值就是做替换后所得到的值。
(2) 0/0被称作不定式。可借助因式分解这一重要技巧来求解,因为函数在x=a处的值是无关紧要的,只需关注x在a附近的情况,因此,能够消去分子和分母中的公因式,之后再使用代入法求解。
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
(3) 如果分母为0但分子不为0,将总会牵扯到一条垂直渐近线,会有四种情况出现,通过查看f(x)在x=al两边的符号可以确定具体属于哪一种情况。
4.2 x->a时的平方根的极限
共轭表达式:a-b的共轭表达式是a+b,反之亦然。(a - b) (a + b) = a2 - b2
如果碰到一个平方根加上或者减去另外一个量,可以试着把分子分母同时乘以其共轭表达式,也许会有令人高兴的惊喜发生。
4.3 x->∞时的有理函数的极限
limx→∞p(x)q(x)\lim_{x \rightarrow ∞}\frac{p(x)}{q(x)} x→∞limq(x)p(x)
其中p和q是多项式。这里有一个非常重要的多项式性质:当x很大时,首项决定一切。
和的极限等于极限的和,这在所有的极限都是有限的时候成立。
对于任意的n>0,只要C是常数,就有:
limx→∞Cxn=0\lim_{x \rightarrow ∞}\frac{C}{x^n} = 0 x→∞limxnC=0
当看到某个关于P的多项式p(x)是多于一项时,把它代以
p(x)p(x)的首项×(p(x)的首项)\frac{p(x)}{p(x)的首项} \times (p(x)的首项) p(x)的首项p(x)×(p(x)的首项)
一般地,考虑极限
limx→∞p(x)q(x)\lim_{x \rightarrow ∞}\frac{p(x)}{q(x)} x→∞limq(x)p(x)
其中p和q为多项式,我们可以说:
- 如果p的次数等于q的次数,则极限是有限的且非零;
- 如果p的次数大于q的次数,则极限是∞或−∞;
- 如果p的次数小于q的次数,则极限是0。
当x->-∞时,所有这些也成立。
4.4 x->∞时的多项式型函数的极限
综合利用前三节的技巧求极限。
4.5 x->-∞时的有理函数的极限
当x是一个非常大的负数时,在任意和中,最高次数项依然会占主导。此外,当x->−∞时,只要C是常数,且n是一个正整数,C/xn仍然趋于0。所有这些都意味着,问题的解与之前的几乎差不多,但需要注意符号。
limx→−∞−x18=∞\lim_{x \rightarrow {−∞}}\frac{-x}{18}=∞ x→−∞lim18−x=∞
如果x<0,并且想写x某次幂n=xm\sqrt[n]{x^{某次幂}}=x^mnx某次幂=xm,那么需要在xm之前加一个负号的唯一情形是,n是偶的而m是奇的。
4.6 包含绝对值的函数的极限
拆解为分段函数后再分别求解左右极限及双侧极限,如果左右极限不相等,则双侧极限不存在(DNE)。
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