形式语言与自动机总结

1.绪论

形式语言定义

自动机：具有离散输入输出的数学模型

对应关系

非限定性语言 ---------- 图灵机

上下文有关语言 ---------- 线性有界自动机

上下文无关语言 ---------- 下推式自动机

正则语言 ---------- 有限自动机

2.语言及文法

字符串运算

字符串：简称为‘字’或者‘串’，是由字母表T中字符构成的有限序列

连接

取头字符,取尾部,子串匹配

逆:字符串倒置：w₁=a₁a₂a₃–>w₁上有一横=a₃a₂a₁

幂运算:自身连接，T⁰={ε}

闭包(*,+):*闭包包括{ε}，+闭包不包括

语言：

注意：L₁={ε}和L2={}=Φ不一样，前者是只有一个空句子的语言，后者是空语言

语言的积

L₁={ ab , ba },L₂={ aa , bb };则L₁L₂={abaa,abbb,baaa,babb};L₁L₂ ≠ L₂L₁.

语言的幂

自身连接

文法定义

四元组G={N,T,P,S}

L(G)是文法生成的句子

N:非终结符的有限集合

T: 终结符的有限集合

P: 生成式的有限集合

S: 起始符，S∈N

文法分类：

0型文法

无限制

1型文法

α–>β,其中|α|<|β|, β∈(N∪T)⁺,α∈(N∪T)^*N⁺(N∪T)^*，即意味着左边必须至少有一个起始符，右边可以起始也可以不起始，但右边长度必须不小于左边长度。对应语言：上下文有关语言

2型文法

A–>α，A∈N，α∈(N∪T)^*，即意味着左边必须是一个起始符，右边无限制，但长度不小于1（满足1型文法）。对应语言：上下文无关语言

3型文法/正则文法

右线性文法：

A–>wB 或 A–>w A,B∈N，w∈T^*.

左线性文法：

A–>Bw 或 A–>w A,B∈N，w∈T^*.

对应语言：正则语言

3.1确定的有限自动机DFA

五元组 = ( Q , T , δ , q₀ , F )

Q x T --> Q.

切记：不管是转移图还是转移表表示DFA时，都要注意初始状态和终止状态。初始状态前有箭头，终止状态有双圈。

被DFA接受的字符串必须在输入结束后能够使DFA状态达到终止

格局

包括信息：当前状态q，待输入字符串w. 两者构成的瞬时描述 ( q , w )

初始格局：( q₀ , w )

终止格局： ( q , ε ), q∈F

设计有限自动机：

多个例子

3.2 不确定有限自动机：NFA

五元组：NFA M = ( Q , T , δ , q₀ , F )

其中δ = Q x T -->2^Q

DFA是特殊的NFA ，NFA转化DFA：

子集构造法

列表法进行，注意以下几点：

表中的状态集合要在中括号中。例：[ p ]，[ q , r ];

表中的起始状态要加箭头，终止状态要加星号*

最后的图中状态集合要在大括号中。例：{ q }, { q , r },同时外加圆圈，终止状态双重圆圈

3.3 ε-NFA

五元组：NFA M = ( Q , T , δ , q₀ , F )

其中δ = Q x( T ∪{ ε }) --> 2^Q

ε闭包

ε-CLOSURE或ECLOSE，定义为从q经过所有的ε路径可到达状态，包括q自身

状态子集的ε-闭包：ε-CLOSURE( I ) = ∪ε-CLOSURE( q ),q∈I

Ia定义：对于状态子集 I ⊆ Q,任意 a ∈ T，Ia = ε-CLOSURE( δ ( I , a ) ) .

定义P = δ ( I , a ):P是从I中的所有状态经过一条标a的边可以到达的状态集合

计算δ’ ( q₀ , a ):

δ’ ( q₀ , a ) = ε-CLOSURE{ δ [ δ’ ( q₀ , ε ) , a ] }

= ε-CLOSURE{ δ [ ε-CLOSURE(q₀) , a ] } //先求一个q₀的ε-闭包，再将其闭包后的结果全部经过一个a形成的集合，再将其集合中的元素全部进行ε-闭包得到集合即为最终答案。

构造ε-NFA自动机

ε-NFA自动机格局

ε-NFA转化NFA

ε闭包法：

一个一个找，从起始状态开始将ε路径跳过(空跳)，比如从X跳到A，那么A接受1到B，就可以看成X接受1到B，既然X可以空跳经过G，那么讨论完X之后就不再讨论G。

3.4 正则集和正则式

正则集

字母表上一些特殊形式的字符串集合

{ε} , Φ , {a}都是正则集

正则式

用类似代数表达式的方法表示正则语言

ε , Φ , a(a∈T)都是正则式

运算：作用于语言上的代数运算

若A,B为正则式，L{ A } , L{ B }为正则集

联合：A+B 或者 L { A } ∪ L { B } 或者的关系，若之后没有*闭包运算，则A,B不能共存，每次只出现一个

连接：AB 或者 L{ A } · L{ B } 顺序的关系

星闭包：A* 或者 L(A)*

算数符优先级：* 大于 · 大于 +

正则式的性质

L⁺一定不包含ε吗？不一定，如果L中包含ε，那么L⁺也可以包含ε.

与闭包有关的定律

(a^*)^*=a^*, a^*=a+a^*, L⁺=LL^*=L^*L, L^*=L⁺∪{ε}

右线性文法与正则式

两者等效

文法 S --> aS, S --> a

对应正则式 a⁺ = a*a

从右线性文法导出正则式：

求解规则

设x=αx+β，α∈T^*，β∈(N∪T)^*,x∈N，则x的解为x=α^*β

求解方法

将右线性文法的生成式写成联立方程，将所有的大写字母当作未知数求解

3.5 正则集与右线性文法

正则集<==>右线性文法产生的语言

已知正则集，求右线性文法：

例1

设正则集L为含有两个相继a和两个相继b的由a和b组成的所有字符串集合，构造产生L的右线性文法

步骤：

先得出正则式

提炼核心内容：必须有aa和bb，所以可能是aabb，bbaa。

确定其余部分：(a+b)^*

得出正则式：(a+b)^*aa(a+b)^*bb(a+b)^* + (a+b)^*bb(a+b)^*aa(a+b)^*

根据正则式得出右线性文法

分解规则

需要从左侧开始分解

对于aX的形式，可以转化为S–>aX

对于(a+b)X的形式，可以转化为S–>aX|bX

对于a*的形式，可以转化为S–>aS

逐步分解

首先，对(a+b)^*（相当于提公因式），有S–>aS|bS

然后，对于剩下的aa(a+b)^*bb(a+b)^*和bb(a+b)^*aa(a+b)^*，因为是两部分相加得到，所以有S–>aaA|bbB

其中，A = (a+b)^*bb(a+b)^*，B = (a+b)^*aa(a+b)^*

先研究A，对于(a+b)^*，有A–>aA|bA

剩下bb(a+b)^*，有A–>bbC,其中C=(a+b)^*

所以C–>aC|bC|ε

同理，B–>aB|bB|aaC

得出答案

S–>aS|bS|aaA|bbB

A–>aA|bA|bbC

B–>aB|bB|aaC

C–>aC|bC|ε

3.7 正则表达式与有限自动机的关系

从DFA构造正则表达式

状态消去法

消去的是中间状态，即除了起始和终止都要消去

最终得到的正则表达式为每一终态对应的正则表达式之和

消去规则

例1

例2

从正则式构造等价ε-NFA

归纳构造过程

对于R+S:

对于RS

对于R*

例子

3.8 右线性语言与有限自动机

由右线性文法G定义的语言必然能被一个NFA M所接受。即L(G) = L(M)

构造与右线性文法等价的有限自动机

例1

设有右线性文法G=({S, B} , {a, b} , P , S),其中 P:S–>aB B–>aB|bS|a，试着构造与G等价的有限自动机M

答题步骤

构造NFA M

M = ( Q , T , δ , q₀ , F ) ,

将Q , T , q₀ , F 全部表明清楚

注意Q中要多一个H作为终止状态: Q = { S, B, H }，T = { a, b }, q₀ = S, F = { H }

构造转换函数δ

每个产生式都对应一个δ

对 S–>aB，有 δ(S,a) = {B}

对 B–>aB，有 δ(B,a) = {B}

对 B–>bS，有 δ(B,b) = {S}

对 B–>a，有 δ(B,a) = {H}

注意

构造δ时，只有在形如S–>aB时能使用，即右边不能超过两个字母表中字母。如果出现S–>abB，则必须新构造一个状态，使得S–>aC, C–>bB.

3.9-3.10右线性语言的性质

DFA极小化

等价状态

DFA M = ( Q , T , δ , q₀ , F ) , 对于任意两个状态q₁q₂∈Q和每个w∈T^*，若有：(q₁ , w)|-^*(q,ε)<==>(q₁ , w)|-^*(q,ε)且q∈F，则称q₁与q₂等价，记作q₁≡q₂

不可达状态

不存在任何w∈T^*，能够使(q₀ , w)|-^*(q,ε)，则称 q∈Q 为不可达状态

最小化

若DFA M不存在互为等价状态和不可达状态，则称 DFA M 为最小化的

最小化算法–填表法

确定不可达状态

将不可达状态删除

区别终态

终态与非终态不可能为等价状态

合并等价态

划分结果时，互为等价态的状态集是用打大括号括起来，最后得出新的状态集合时，每个等价态只用一个状态表示，最后的状态集合每个状态都用中括号括起来

例子

泵浦定理

设L是正则集，存在常数K，对字符串w∈L且 | w | >= n，则 w 可以写成 w₁w₀w₂ ，其中 | w₁w₀ | <= n，| w₀ | > 0，对于所有的 i >= 0 ，有 w₁w₀ⁱw₂∈L。//所以 w₀ 一定是在字符串的前n个字符中找。

例1

求证L={a^k| k >= 1}不是正则集

回答规范

假设L是正则集，取足够大的整数n，w = aⁿ。有| w |=| w₁w₀w₂ | = n平方 >= n。

因为 | w₁w₂ | <= n，| w₀ | > 0，若取 i = 2，则的情况为| w₁w₀w₀w₂ |=| w |+| w₀ |, | w | = n平方, 0 < | w₀ | <= n, 所以 n平方 < | w | + | w₀ | <= n平方+n < (n+1)平方,所以不满足w = a的n²次方（串长不是整数平方），所以与假设冲突。

像这个例子是使用了类似于逻辑归纳法的方式来进行反证的。看下一个例子

例2

L={ w | w中0和1的个数相等 }不是正则集

在证明这个L时，我们选取了 0ⁿ1ⁿ这样一个特殊条件来进行判断，在判断不是正则集后即可将L全部否定。

右线性语言的封闭性

L₁和L₂是右线性语言，则L_I∪L₂，L₁L₂，L₁*，L₁的补集(就是在L₁上面画横杠)L₁∩L₂都是右线性语言。

双向有限自动机

读入一个字符以后，读头可以：左移右移不动

形式定义：2DFA M = ( Q , T , σ , q₀ , F )

设有w₁qw₂ w₁– 已输入串 q–当前状态 w₂–待输入串

σ(q,a_m+1)=(p,R)//R说明右移格局描述：a₁ a₂ … a_m q a_m+1… |- a₁ a₂ … a_m a_m+1 q a_m+2 …

σ(q,a_m+1)=(p,L)//L说明右移格局描述：a₁ a₂ … a_m q a_m+1… |- a₁ a₂ … a_m-1 q a_m …

2DFA 接受的字符串集合：{w | q₀w |-* wq , q∈F }

确定的双向有限自动机

不能不动

有输出的有限自动机

米兰机摩尔机

定义：输出字符与输入字符及状态有关输出字符仅与状态有关

形式定义：（Q , T , R , σ , g , q0)

T 有限输入字母表 R 有限输出字母表 σ 转换函数 Q×T–>Q q0 初始状态

g 输出函数 Q×T–>R g 输出函数 Q–>R