形式语言与自动机 Part.4 正则语言，2DFA，MealyMoore机

课程名：形式语言与自动机

作者：Lupinus_Linn

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引用：

本文中部分文字与图片引用自北京邮电大学计算机学院王柏教授的《形式语言与自动机》课程课件。

绪论中的证明方法部分引自清华大学王生原老师课件。

部分题目插图引用自北京邮电大学出版社《形式语言与自动机第二版》教材。

在此一并表示感谢，并不做商业用途。

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Part.1绪论, Part.2 语言与文法
Part 3.有限自动机
Part.4 正则语言，2DFA，Mealy&Moore机
Part.5 上下文无关语言与下推自动机(PDA)
Part.6 图灵机

文章目录

Part.4 正则语言
- 4.1 基本概念
- 4.2 右线性文法↔正则表达式
- 4.3 正则语言可以表示为有限自动机、正则表达式和右线性文法
- 4.4 有限自动机→正则表达式：状态消去法
- 4.5 正则表达式→有限自动机
- 4.6 右线性文法→有限自动机
- 4.7 有限自动机→右线性文法
- 4.8 DFA的最小化：填表算法
- - 4.8.1 删除不可达状态
  - 4.8.2 填表算法
  - 4.8.3 等价状态的合并
  - 4.8.4 例子
- 4.9 正则语言的泵引理
- 4.10 双向有限自动机(2DFA)
- - 4.10.1 2DFA的五要素
  - 4.10.2 2DFA的格局
  - 4.10.3 2DFA接受的语言
- 4.11 有输出的有限自动机(Mealy&Moore)
- - 4.11.1 Mealy机
  - 4.11.2 Moore机
  - 4.11.3 Moore机→Mealy机
  - 4.11.4 不做要求：Mealy机→Moore机

Part.4 正则语言

4.1 基本概念

正则语言：满足正则语言的判定定理的语言。
正则(表达)式：用类似代数表达式的方法表示正则语言。
正则式的相等：表示的语言相同。
正则集：满足正则式的字符串的集合。
正则式和语言的的联合运算+，连接运算•，正闭包 L + L^+ L+，星闭包 L ∗ L^* L∗及运算性质。

注1：正则集是T* 的子集。(即正则集是T*上的语言)
注2：L+包含ε当且仅当L包含ε。
注3：每个正则集至少对应一个正则式（可有无穷多个正则式）

4.2 右线性文法↔正则表达式

两个等价

左线性文法和右线性文法等价。
右线性文法和正则式等价（右线性文法产生的语言都是正则语言，正则语言都可以用右线性文法产生）
从右线性文法导出正则式：设 x → α x + β , α ∈ T ∗ , x ∈ N , t h e n x = α ∗ β x\rarr \alpha x+\beta,\alpha \in T^*,x\in N,then\ x=\alpha^*\beta x→αx+β,α∈T∗,x∈N,then x=α∗β。不断代入消元，最后得出 S = < R E > S= <RE> S=<RE>

4.3 正则语言可以表示为有限自动机、正则表达式和右线性文法

三者两两等价，都表示正则语言

生成终结符吃掉，并转移到产生式的非终结符。
直接生成终结符的非终结符是被接受的。

每个状态名对应一个非终结符，转移条件和转移到的状态构成产生式右侧。
被接受的状态额外还有仅产生终结符的产生式。最后做文法三消。

类似解方程，代入消元。

按照运算顺序，将基本运算还原成文法。

状态消去法。被消去的中间状态对<射入，射出>的状态对都有影响。

按照运输按顺序，将基本运算画成自动机。

右线性文法

有限自动机

正则表达式

例子：

G=（{S，A}，{0，1}，P ，S）其中P：S—>1A，A—> 0A |1S|0

文法转正则式：解方程
A → 0 A ∣ 1 S ∣ 0 , 即 A → 0 A ∣ 11 A ∣ 0 ，解得 A = ( 0 + 11 ) ∗ 0 ，得 S = 1 ( 0 + 11 ) ∗ 0 A\to 0A|1S|0,即A\to 0A|11A|0，解得A=(0+11)^*0，得S=1(0+11)^*0 A→0A∣1S∣0,即A→0A∣11A∣0，解得A=(0+11)∗0，得S=1(0+11)∗0
正则式转文法：按照运算顺序，按基本运算还原。
1 , ( 0 + 11 ) ∗ , 0 1,(0+11)^*,0 1,(0+11)∗,0是依次连接的，对应文法的连接，则 S → 1 A 0 , A → ( 0 + 11 ) ∗ S\to 1A0,A\to (0+11)^* S→1A0,A→(0+11)∗
闭包运算的文法是 A → a A ∣ ϵ A\to aA|\epsilon A→aA∣ϵ，所以 A → 0 A ∣ 11 A ∣ ϵ A\to 0A|11A|\epsilon A→0A∣11A∣ϵ
文法转自动机：生成一个吃一个，生成终结符串的，转移到一个新增的接受状态。
因为mermaid语法的限制，用方形框表示接受。
S → 1 A S\to 1A S→1A，则状态 q S q_S qS用字符 1 1 1转移到状态 q A q_A qA，其他以此类推。
A A A可以推出终结符串 0 0 0，则 q A q_A qA通过 0 0 0转移到新的接受状态 q H q_H qH

1

0

1

0

qs

qa

qh
自动机转文法：每一个转移，对应一个产生式。转移到接受状态的，额外增加推出终结符串。
q S q_S qS接受 1 1 1转移到 q A q_A qA，所以文法有产生式 q S → 1 q A q_S\to 1q_A qS→1qA，其他以此类推。
最后可能要做三消（消单消空消递归）。
q S → 1 q A q A → 1 q S q A → 0 q A q A → 0 q H ∣ 0 q_S\to 1q_A\\ q_A\to 1q_S\\ q_A\to 0q_A\\ q_A\to \bold{0q_H|0} qS→1qAqA→1qSqA→0qAqA→0qH∣0
自动机转正则式：状态消去法
要消去状态 q A q_A qA，入射 q A q_A qA的有 { q S } \{q_S\} {qS}，出射 q A q_A qA的有 { q H , q S } \{q_H,q_S\} {qH,qS}，所以对 q S q_S qS到 q H q_H qH， q S q_S qS到$q_S $有影响。

10*1

10*0

qs

qh

此时已经是基本结构，一举写出
S = ( 1 0 ∗ 1 ) ∗ 1 0 ∗ 0 S=(10^*1)^*10^*0 S=(10∗1)∗10∗0
正则式转自动机：按照运算顺序，按基本运算还原。
用 S = 1 ( 0 + 11 ) ∗ 0 S=1(0+11)^*0 S=1(0+11)∗0来还原，5.里那个比较复杂。
1 , ( 0 + 11 ) ∗ , 0 1,(0+11)^*,0 1,(0+11)∗,0是依次连接的，对应自动机某一些状态区域的空转移。
空闭包的结构是，要么空转移，要么在原地转圈后转移。
0+11的结构是，两条并行线。
11结构是，顺序执行。

rightZone midZone leftZone

1

空

空

0

1

1

空

0

c

q3

qf

a

q2

d

q1

4.4 有限自动机→正则表达式：状态消去法

精髓：将正则表达式作为转移弧的标记。不断删去状态，删去状态时将其前驱和后继的转移弧标记修改。删到基本结构时写出最终表达式。

删除方法：

基本结构：

对于 q ∈ F q\in F q∈F

q ≠ q 0 q\ne q_0 q=q0，则正则表达式为 ( R + S U ∗ T ) ∗ S U ∗ (R+SU^*T)^*SU^* (R+SU∗T)∗SU∗，即观察从 q 0 q_0 q0到 q q q的可能路径。
为到达 q 0 q_0 q0，可以在 q 0 q_0 q0自环转任意次或者 q 0 q_0 q0和 q q q之间反复横跳任意次。
之后要到达 q q q，一定会单独经过一次 S S S，然后在 q q q又可以自环转任意次。

q = q 0 q= q_0 q=q0，最后可以删到只剩下一个状态。正则表达式为 R ∗ R^* R∗.

当有 ∣ F ∣ > 1 |F|\gt1 ∣F∣>1，即有多个状态被接受时，将到达每个终态的正则表达式加起来。

技巧：删去的顺序不一定，可以先局部再整体。

例子：

另有状态消去法的形式化方法– CONVERT(G)，但其不适合手工操作，略去不表。

4.5 正则表达式→有限自动机

精髓：将正则表达式的匹配过程写成一个二叉树，然后中序遍历，按照几种基本结构将其画成自动机。
其实大多数时候是随手画。

基础：

归纳：

4.6 右线性文法→有限自动机

精髓：因为右线性文法每次会产生一个非终结符合一个终结符，将生成终结符作为自动机的转移条件，产生的非终结符作为下一个状态。
因为只产生终结符时应该是接受状态，但是文法中没有这个符号，所以就新建一个符号H，让终结符指向H，H被接受。
为了不引入空转移，根据是否能由S推出空串决定S的可接受性。

方法：设右线性文法 G ＝（ N ， T ， P ， S ） G＝（N，T，P，S） G＝（N，T，P，S），构造一个与G等
价的有限自动机 N F A M ＝（ Q ， T ， δ ， q 0 ， F ） NFA\ M＝（Q，T，δ，q_0，F） NFA M＝（Q，T，δ，q0，F），其中： Q ＝ N ∪ H Q＝N \cup {H} Q＝N∪H， H H H为一个新增加的状态, H ∉ N H\notin N H∈/N， q 0 ＝ S q_0＝S q0＝S.
F = { { H , S } , i f S → ϵ ∈ P { H } F=\begin{cases}\{H,S\},if\ S\rarr\epsilon \in P\\\{H\}\end{cases} F={{H,S},if S→ϵ∈P{H}
δ : \delta: δ:
B ∈ δ ( A , a ) i f A → a B ∈ P H ∈ δ ( A , a ) i f A → a ∈ P δ ( H , a ) = ∅ B\in \delta(A,a)\ if\ A\rarr aB \in P\\H\in \delta(A,a)\ if\ A\rarr a \in P\\\delta(H,a)=\empty B∈δ(A,a) if A→aB∈PH∈δ(A,a) if A→a∈Pδ(H,a)=∅
例子：

4.7 有限自动机→右线性文法

精髓：把 δ \delta δ函数的转移看成是一个个生成式。

方法：设 N F A M ＝（ Q ， T ， δ ， q 0 ， F ） NFA\ M＝（Q，T，δ，q_0，F） NFA M＝（Q，T，δ，q0，F），构造一个右线性文法 G ＝（ N ， T ， P ， S ） G＝（N，T，P，S） G＝（N，T，P，S），其中 N ＝ Q N＝Q N＝Q， S ＝ q 0 S＝q_0 S＝q0

P : P: P:
A → a B ∈ P i f δ ( A , a ) = B , t h e n i f B ∈ F , a d d A → a t o P A\rarr aB\ \in P\ if\ \delta(A,a)=B,\ then\ if\ B\in F,\ add\ A\to a\ to\ P A→aB ∈P if δ(A,a)=B, then if B∈F, add A→a to P
例子：

4.8 DFA的最小化：填表算法

最小化：对DFA M的极小化是找出一个状态数比M少的
DFA M1，使满足 L(M) = L(M1)。若DFA Ｍ不存在互为等价状态及不可达状态，则称 DFA Ｍ是最小化的.
状态偶对：两个状态的有序二元组称为状态偶对。
状态的等价和可区分：两者是对立的。对于某一DFA M，如果两个状态 q 0 , q 1 q_0,q_1 q0,q1通过任意的串 ω \omega ω都可以转移接收状态（不一定是同一个接收状态），则两者等价。反之两者可区分。
即：设 D F A M = ( Q ， T ， δ ， q 0 ， F ) DFA\ M = (Q，T，δ，q_0，F) DFA M=(Q，T，δ，q0，F)，若 q x , q y ∈ Q q_x,q_y\in Q qx,qy∈Q，对于 ∀ ω ∈ T ∗ \forall \omega\in T^* ∀ω∈T∗，若 ( q x , ω ) ┣ ∗ ( q x , ϵ ) ↔ ( q y , ω ) ┣ ∗ ( q y , ϵ ) (q_x,\omega)┣^*(q_x,\epsilon)\leftrightarrow(q_y,\omega)┣^*(q_y,\epsilon) (qx,ω)┣∗(qx,ϵ)↔(qy,ω)┣∗(qy,ϵ)，则 q x , q y q_x,q_y qx,qy等价，反之两者可区分。
不可达状态：即无法从 q 0 q_0 q0输入任何字符串 ω \omega ω到达的状态。

4.8.1 删除不可达状态

可以减小填表算法的负担。
从 q 0 q_0 q0开始，迭代寻找(bfs)可以到达的状态 Q 可达 Q_{可达} Q可达，则 Q − Q 可达 Q-Q_{可达} Q−Q可达即为不可达状态，删除不可达状态即含有其的转移条目。

4.8.2 填表算法

精髓：因为状态的等价关系是传递的，可以通过两两判断等价性来找出所有等价的状态。又因为是自反的、对称的，所以只需要一个 n × n n\times n n×n表格的下三角部分来记录，且不需要对角线。
如果没有理由认为两个状态是可区分的，那么就认为他们是等价的。

方法：

基础：所有的终态和非终态是可区分的。
归纳：如果某两个状态 q x , q y q_x,q_y qx,qy可以通过符号 a a a转移到两个可区分的状态，那么他们是可区分的。

例子：

4.8.3 等价状态的合并

将所有的状态根据等价性构成一个划分，将划分块用其等价类代替。
用等价类作为状态标记构造一个新的DFA，其转移关系为：如果原来不同划分之间至少有一种转移，那么这两个等价类增加一条转移。
即：设待最小化的DFA为 D F A A = ( Q , T , δ , q 0 , F ) DFA\ A = (Q, T, \delta, q_0 , F ) DFA A=(Q,T,δ,q0,F) ，最小化的自动机为 D F A B = ( Q B , T , δ B , [ q 0 ] , F B ) DFA\ B = (Q_B, T, \delta_B, [q0], F_B ) DFA B=(QB,T,δB,[q0],FB) , 其中 Q B = { [ q ] ∣ q ∈ Q } Q_B=\{ [q] | q\in Q\} QB={[q]∣q∈Q}, δ B ( [ q ] , a ) = [ δ ( q , a ) ] } \delta_B([q] ,a)=[\delta(q,a)]\} δB([q],a)=[δ(q,a)]}， F B = { [ q ] ∣ q ∈ F } F_B = \{ [q] | q\in F\} FB={[q]∣q∈F}

4.8.4 例子

4.9 正则语言的泵引理

精髓：因为正则语言对应的是有限自动机，其状态数是有限的，那么由Pigeonhole Rule，对于无限的语言（有限语言可以通过“并”构成正则语言），如果其为正则语言，那么一定会在自动机的某一段绕圈来达到无限。

泵引理：正则语言中足够长的句子一定能拆成三段，并且中间一段重复0次或任意多次得到的句子仍然属于正则语言（可以Pumping in和Pumping out）。泵引理成立是正则语言的一个必要条件。

用泵引理来证明某语言不是正则语言

证明步骤

选任意的n.

找到一个满足以下条件的串 w ∈ L w\in L w∈L (长度至少为n).

任选满足 w = x y z ∧ y ≠ ϵ ∧ ∣ x y ∣ ≤ n w = xyz ∧ y\ne \epsilon ∧ |xy| \le n w=xyz∧y=ϵ∧∣xy∣≤n 的 x , y , z x,y,z x,y,z

找到一个 k ≥ 0 k\ge0 k≥0, 使 x y k z ≠ L xy^kz \ne L xykz=L.

例子：利用泵引理证明下述语言不是正则语言：
L = { 1 n 2 ∣ n ≥ 0 } L=\{1^{n^2}|n\ge 0\} L={1n2∣n≥0}
答：

假设 L L L是正则语言。
那么，存在 N ∈ Z + N\in Z^+ N∈Z+，对于 ∀ ω ∈ L ( ∣ ω ∣ ≥ N ) \forall \omega\in L(|\omega|\ge N) ∀ω∈L(∣ω∣≥N)满足泵引理。
取 ω = 1 N 2 \omega = 1^{N^2} ω=1N2，显然 ω ∈ L \omega \in L ω∈L且 ∣ ω ∣ = N 2 ≥ N |\omega|=N^2\ge N ∣ω∣=N2≥N。
那么， ω \omega ω可以被分为 ω = x y z \omega =xyz ω=xyz，且 ∣ x y ∣ ≤ N , ∣ y ∣ > 0 |xy|\le N,|y| \gt 0 ∣xy∣≤N,∣y∣>0.
那么， y y y只能是 1 m ( m > 0 ) 1^m(m\gt 0) 1m(m>0), x x x为 1 l ( l ≥ 0 ) 1^l(l\ge 0) 1l(l≥0)， z z z为 1 N 2 − l − m 1^{N^2-l-m} 1N2−l−m，且满足 m + l ≤ N m+l\le N m+l≤N。
那么 x y 2 z = 1 l 1 2 m 1 N 2 − l − m = 1 N 2 + m xy^2z=1^l1^{2m}1^{N^2-l-m}=1^{N^2+m} xy2z=1l12m1N2−l−m=1N2+m。
因为 m > 0 m\gt 0 m>0所以 N 2 + m > N 2 N^2+m\gt N^2 N2+m>N2；因为 m + l ≤ N m+l\le N m+l≤N且 l ≥ 0 l\ge 0 l≥0，得 m ≤ N m\le N m≤N，所以 N 2 + m ≤ N 2 + N < N 2 + 2 N + 1 = ( N + 1 ) 2 N^2+m\le N^2+N\lt N^2+2N+1=(N+1)^2 N2+m≤N2+N<N2+2N+1=(N+1)2，所以 N 2 < N 2 + m < ( N + 1 ) 2 N^2\lt N^2+m\lt (N+1)^2 N2<N2+m<(N+1)2，即新串的长度严格位于两个完全平方数之间，所以其不是完全平方数。
则 x y 2 z ∉ L xy^2z\notin L xy2z∈/L，而由泵引理 x y 2 z ∈ L xy^2z\in L xy2z∈L，所以假设不成立， L L L不是正则语言。

例子：由文法 G G G产生的语言 L ( G ) L(G) L(G)，其中 P : S → a S b S ∣ c P:S\to aSbS|c P:S→aSbS∣c.
语言的描述有很多种，用类似 a n b n a^nb^n anbn的公式化描述的只有一部分。还有用叙述性描述（比如a和b的数量一样多）和文法描述的（本题）。这些描述有时候很难写出完全等价的公式化描述，其实只需要其中的一个句子即可。

假设L是正则语言，则存在正整数N，对于任意L内的字符串 ω \omega ω成立 ∣ ω ∣ ≥ N |\omega|\ge N ∣ω∣≥N时，可以应用泵引理。
对于L，不妨取 ω = a N c ( b c ) N = ω 1 ω 0 ω 2 \omega=a^Nc(bc)^N=\omega_1\omega_0\omega_2 ω=aNc(bc)N=ω1ω0ω2，则 ∣ ω 0 ∣ > 0 , ∣ ω 1 ω 0 ∣ ≤ N |\omega_0|\gt 0,|\omega_1\omega_0|\le N ∣ω0∣>0,∣ω1ω0∣≤N，显然 ω 0 = a i ( i > 0 ) \omega_0=a^i(i\gt 0) ω0=ai(i>0)。
则对于 ω ′ = ω 1 ω 0 2 ω 2 = a N + i c ( b c ) N \omega'=\omega_1\omega_0^2\omega_2=a^{N+i}c(bc)^N ω′=ω1ω02ω2=aN+ic(bc)N，其不属于 L L L（注意是文法那个L，不是取的句子），而与泵引理矛盾，所以L不是正则语言。

4.10 双向有限自动机(2DFA)

双向有限自动机：读入一个字符之后，读头既可以左移一格，也可以右移一格，或者不移动的有限自动机。

确定的双向有限自动机: 每读入一字符，必须向左或右移动，不考虑不移动的情况.

4.10.1 2DFA的五要素

2 D F A M ＝ ( Q ， T ， δ ， q 0 ， F ) 2DFA\ M＝(Q，T ，δ， q_0， F) 2DFA M＝(Q，T，δ，q0，F)

δ : Q × T → Q × { L , R } \delta:Q\times T\rarr Q\times\{L,R\} δ:Q×T→Q×{L,R}
δ ( q , a ) = ( p , R ) o r δ ( q , a ) = ( p , L ) \delta(q,a)=(p,R)\ or\ \delta(q,a)=(p,L) δ(q,a)=(p,R) or δ(q,a)=(p,L)
其他与DFA相同。即每次除了状态转移之外还要移动读头（左移或右移一格）。

4.10.2 2DFA的格局

2DFA的格局和DFA的不同，要把字符串整个列出来。
δ ( q ， a m + 1 ) = ( p ， R ) δ(q，a_{m+1})=(p，R) δ(q，am+1)=(p，R)的格局表示： a 1 a 2 … a m q a m + 1 … a n ┣ a 1 a 2 … a m + 1 p a + m + 2 … a n a_1 a_2…a_m q a_{m+1}…a_n┣ a_1 a_2…a_{m+1} p a+{m+2}…a_n a1a2…amqam+1…an┣a1a2…am+1pa+m+2…an
δ ( q ， a m + 1 ) = ( p ， L ) δ(q，a_{m+1})=(p，L) δ(q，am+1)=(p，L)的格局表示: a 1 a 2 … a m q a m + 1 … a n ┣ a 1 a 2 … a m − 1 p a m a m + 1 … a n a_1 a_2…a_m q a_{m+1}…a_n┣ a_1 a_2…a_{m-1} p a_m a_{m+1}…a_n a1a2…amqam+1…an┣a1a2…am−1pamam+1…an

4.10.3 2DFA接受的语言

2DFA接受的语言是 L ( M ) = { ω ∣ q ω ┣ ω ∗ q ， q ∈ F } L(M)=\{ω| q_ω┣^*_ωq，q\in F\} L(M)={ω∣qω┣ω∗q，q∈F}

4.11 有输出的有限自动机(Mealy&Moore)

有输出的有限自动机是有限自动机的一个类型.
这类自动机在有字符输入时，不仅存在状态转换，同时引起字符输出.

根据输入字符，自动机状态，输出字符三者之间关系，可有两类有输出的自动机:

米兰机(Mealy): 输出字符与输入字符及状态有关.
摩尔机(Moore): 输出字符仅与状态有关.

最大优点: 节省状态

4.11.1 Mealy机

M ＝ ( Q ， T ， R ， δ ， g ， q 0 ) M＝(Q，T ，R，δ， g ， q_0) M＝(Q，T，R，δ，g，q0)
相比DFA，多了输出函数 g : Q × T → R g:Q\times T\rarr R g:Q×T→R
δ \delta δ和 g g g函数共同描述Mealy机的工作情况。
绘图：
{ δ ( p , a ) = q g ( p , a ) = b \begin{cases}\delta(p,a)=q\\g(p,a)=b\end{cases} {δ(p,a)=qg(p,a)=b
绘制为

a/b

p

q
例子：

4.11.2 Moore机

M ＝ ( Q ， T ， R ， δ ， g ， q 0 ) M＝(Q，T ，R，δ， g ， q_0) M＝(Q，T，R，δ，g，q0)
相比DFA，多了转移函数 g g g
相比Mealy机，Moore机的转移函数 g g g是个一元函数，只与当前状态有关。
绘图：
{ δ ( p , a ) = q g ( p ) = b 1 g ( q ) = b 2 \begin{cases}\delta(p,a)=q\\g(p)=b_1\\g(q)=b_2\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧δ(p,a)=qg(p)=b1g(q)=b2
绘制为

a

p,b1

q,b2

因为输出只与状态有关，所以把输出写在状态圈里。
例子：

4.11.3 Moore机→Mealy机

Moore机比较简单，所以转换成Mealy机很方便。
将Moore机中某个状态 q q q的输出 b b b，作为新的Mealy机任何到达 q q q状态的转移时的输出。
即：设摩尔机 M ＝ ( Q , T , R , δ , g , q 0 ) M＝(Q, T, R,δ, g ,q_0) M＝(Q,T,R,δ,g,q0) 米兰机 M ’ ＝ ( Q , T , R , δ , g ’ , q 0 ) M’＝(Q, T, R,δ, g’, q_0) M’＝(Q,T,R,δ,g’,q0) 如果中中中有 δ ( q ， a ) = p δ(q，a)=p δ(q，a)=p，$ g§ = b$ 则 M ’ M’ M’中有 g ’ ( q ， a ) = b = g ( δ ( q ， a ) ) g’(q，a) = b = g(δ(q，a)) g’(q，a)=b=g(δ(q，a))

例子：

4.11.4 不做要求：Mealy机→Moore机

略去不表。