概率论与数理统计（第四版）第二章：随机变量及其分布（第一节和第二节笔记）

1、随机变量

（1）定义

① 随机变量是一个实值单值函数，X= X(e)，定义域为样本空间S。

② 一个随机变量的值与样本空间的样本点集合（随机试验的不同结果）对应。

③ 随机变量将随机试验的结果（可能为非实数）与不同的实数对应起来，便于分析和研究。

2、离散型随机变量及其分布律

（1）什么是离散型随机变量

离散型随机变量的值是有限多个，或者是可以列出来的无限多个。

（2）分布律定义

P{X = $x_{k}$ } = $p_{k}$ ，k = 1,2,3..... ，即随机变量取每个值时对应的概率就叫做随机变量的分布律。它可以通过表格列出来。

（3）常见分布律

① （0 — 1）分布

$P\left \{ X=k \right \}= p^{k} (1-p)^{1-k}$

理解：随机变量的值只能取0和1两个值，这时随机变量的分布律服从（0 — 1）分布。

记忆：两个幂相乘，一个是 $p^{k}$ ,一个的底数和指数都是用1减去相对应的数值。

② 伯努利试验

如果一个试验只有两个结果A和 $\overline{A\overline{}}$ ，那么这个试验叫做，伯努利试验。

如果一个伯努利试验重复独立的做n次，那么这个试验叫做n重伯努利试验。

”独立“是重要的，代表求积事件的概率时可以用概率的乘积得到。

③ 二项分布

$P\left \{ X=k \right \}= \binom{n}{k}p^{k} (1-p)^{n-k}$ ，即 $x\sim b(n,p)$

理解：

随机变量代表n重伯努利试验中A发生的次数。

随机变量为k，代表A发生k次，总共进行了n次，这样的结果就是 $\binom{n}{k}$ 次事件的和事件，各事件间互斥，概率等于概率之和，每个事件中的发生概率独立，故可用概率的积表示积事件的概率。

公式的推导：

$P\left \{ X=k \right \}= P\left \{ \overline{A}AA....\bigcup A\overline{A}.... \bigcup ...\right \} == P(\overline{A}AA....)+ P(A\overline{A}.... )+..... = p^{k}q^{n-k} + p^{k}q^{n-k} + p^{k}q^{n-k} +...... =\binom{n}{k}p^{k} (1-p)^{n-k}$

二项分布的概率随X的增大，先增大后减小。

④ 泊松分布

$P\left \{ X=k \right \}=\frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}$

记忆：常数 $e^{-\lambda }$ 乘以 $e^{\lambda }$ 展开的无穷级数。 $e^{\lambda }$ 的无穷级数是 $\lambda$ 的幂函数除以阶乘。（ $\lambda$ > 0）

⑤ 泊松定理

$\lim_{n\rightarrow \infty }\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}=\frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}$

条件： n是比较大的正整数时，np = $\lambda$ （ $\lambda$ > 0）,

应用：二项分布趋近于泊松分布。应用此定理可以求对应二项分布出现k次的概率。

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