背景

由于笔者最近要写人工智能课的大作业，所以这两天在学习博弈论相关的知识，但网上对alpha-beta剪枝的原理讲的都不是很清晰，很多细节都忽略了，让初学者会有一种脑子说会了，但手并不会的感觉，导致一写起代码就懵，所以笔者决定整理一下知识点，让初学者更容易接受。本文适合想深入理解算法原理的读者，如果您只是需要在工程中使用，请直接到文章最后ctrl cv代码即可。

不管是alpha-beta剪枝算法还是它的前身Max-Min算法，都是用于在不同阵营进行博弈的问题中计算理论最优解。注意这里的两个关键词：不同阵营、理论最优解。

我们平时玩的五子棋、象棋等游戏中，玩家被分为两个阵营，且在棋盘上所有棋子位置一定时，两方进行的操作不同，因为双方需要考虑己方棋子移动的最优解并且只能移动己方棋子，这种游戏可以使用上述两种算法。但还有一种游戏，它是没有严格划分阵营的，也就是说如果当前游戏的局面一定，对于两个玩家来说，他们选择的理论最优解应该是相同的，比如两个人从n个石子中取走石子，每次至多可以取m(0 < m < n)个石子，取完石子的人胜利，这类游戏我们乘为Nim游戏，本文中不过多介绍，有兴趣了解的请查找Nim游戏和SG函数相关资料。

我们再来看第二个关键词：理论最优解，我们在算法中所做的所有推演，都是基于对手也会选择对它理论上的最优解，但在实际的人机对战中，人类很难做到这一点，况且在机机对战中，如果各自的评价函数（即量化当前操作的优劣）不同，各自的理论最优解也不同。

Max-Min算法

在讲alpha-beta剪枝之前，不得不提的就是它的前身Max-Min算法，可以说Max-Min算法是灵魂，alpha-beta剪枝不过是加了一点trick节约搜索资源。

图源：Bug_Programmer

这是一个经典的博弈树，它记录了博弈中所有可能的情况。注意到，博弈进行到叶结点即结束，这里需要说明，搜索结束不代表游戏结束。比如在五子棋中，如果我们想一直搜索直到游戏结束，复杂度是指数级增长的，计算机没有那么多计算资源也没必要使用那么多计算资源，我们可以设置一个最大搜索深度，当博弈树搜索到最大深度时开始计算当前最优解，换句话来说，我们在搜索范围过大时，只考虑局部最优解而不去考虑全局最优解。

Max-MIn算法将决策树中不同深度的层分为Max层和Min层，Max层选择自己的最优解，Min层选择对方的最优解。决策树的根结点是自己当前所选择的操作，显然它是一个Max层，往后以此类推，方形代表Max层，圆形代表Min层。

在确定完Max和Min层后，我们就要开始计算每个结点能取到的最优解了。这个最优解是经过评价函数量化的，不同游戏的评价函数定义不同，你可以根据自己的需求个性化选择评价函数，但不管是什么定义方式，它本质上就是一个量化当前局面对自己来说优劣的函数。

该算法的核心在于逆推，即从当前操作所导致的结果推出当前操作的最优解。 当搜索到叶结点时，我们计算所有叶节点的评价值，然后计算父结点的评价值，计算方式为：Max层的结点取它的子结点中的最大值，Min层的结点取它的子结点中的最小值。 用图中最左面的分支来举例，当进行到Min层时，此时他有两个选择，评价值分别为3和17，那么作为你的对手，他一定会让你的评价值最小，因此他会选择评价值为3的操作，同理可知Max层选择评价值最大的操作。

由此我们就可以计算根结点的操作，即选择当前能达到的最大评价值所对应的操作。

alpha-beta剪枝

我们终于开始讲这个神秘的alpha-beta剪枝算法了，如果你理解了Max-Min算法，那么理解这个应该也很轻松。

我们很容易发现，Max-Min算法有它明显的缺陷——计算量大，即使我们做了搜索深度限制，计算量仍十分庞大，算法工程师们总是不满足暴力搜索的，因此就有了alpha-beta剪枝算法。

现在请思考一个问题，如果你已经有了一个评价值为10的操作，那么再遍历其他结点时，你发现它最大能达到的评价值是5，那么你还会继续遍历这个结点的其他子结点吗？显然不会，因为你已经有了一个更优的选择了，除非有一个比10更大的评价值，否则你不会再搜索下去。同理，如果你的对手已经有了一个评价值为5的操作，那么它还会让你选择评价值更大的操作吗？也不会，因为它是你的对手，理论上它总想让你玩的最不舒服。

理解了这个，你就理解了alpha-beta剪枝的精髓——剪掉那些一定不会选择的分支。

下面我们来详细介绍一下这个“聪明”的算法。

图源：急流

上图是我们用DFS搜索第一条路径的结果，两个叶结点分别是3和17，当我们搜索到第一个叶结点3时，此时17的结点还未被搜索到，那么由于它的父结点在Min层，所以它的父结点一定会选择一个评价值小于等于3的值， 请仔细思考这句话，很重要！换句话说，目前来看，父结点的上界是3，由此引出该算法的第一个参数——β，它是一个结点所能选取的评价值的上界。现在我们假设两个叶结点在Min层，它们的父结点在Max层，此时由于我们搜索的顺序仍是从左向右，父结点一定会选择一个评价值大于等于3的值， 也就是说父结点评价值的下界是3，由此引出该算法的第二个参数——α，它是一个结点所能选取的评价值的下界。

知道了α和β的定义，我们来介绍一下alpha-beta剪枝中最重要的性质：
1. Max层的α = max(α，它的所有子结点的评价值)，Max层的β = 它的父结点的β
2. Min层的β = min(β，它的所有子结点的评价值)，Min层的 α = 它的父结点的α
3. 当某个结点的 α >= β，停止搜索该节点的其他子结点
4. 叶结点没有 α 和 β

我们一一说明这四条性质：
首先我们假设所有非叶结点的α初始化为负无穷，β初始化为正无穷。

若Max层中发现有一个子结点的评价值比当前所能达到的评价值更大，换句话说就是子结点的操作更优，那么将当前所能达到的评价值换成该子节点的评价值。并且由于它的父结点是从该Max层中选择最小的评价值，那么他就要判断一下当前的α是否大于它父结点的β。为了方便起见，我们将父结点的β赋给它自己的β，这样我们只需要比较它自己的α和β就可以了。
跟第一条类似，如果发现子结点中有比当前更优的操作（对对手更优，即对自己更差），那么就替换β，同时比较父结点最优解与当前解的大小，如果父结点已经有一个更优解，则不必继续搜索了。
Max层中，若某个结点的最优解已经大于它的父结点的最差解，则不必继续搜索，剪枝；Min层中，若某个结点的最差解已经小于它的父结点的最优解，则不必继续搜索，剪枝。
由于叶结点没有子结点，自然不需要计算 α 和 β。

图源：急流
（原谅我懒得画图）

代码

棋类游戏博弈

        def AlphaBeta(self, player, alpha, beta):# 当前可以下的位置movable_positons = self.Move()if (self.Winner() != "continue"):return self.Evaluate()if(player == "man"): # min层for mov in movable_positons:self.chessboard[mov[0]][mov[1]] = 1# Min层的beta = min(beta, 子结点的alpha)beta = min(beta, self.AlphaBeta("machine", alpha, beta))self.chessboard[mov[0]][mov[1]] = 0if alpha >= beta:return alphareturn betaelif(player == "machine"): # max层for mov in movable_positons:self.chessboard[mov[0]][mov[1]] = -1alpha = max(alpha, self.AlphaBeta("man", alpha, beta))self.chessboard[mov[0]][mov[1]] = 0# beta是父结点的alpha，即为max层结点的betaif alpha >= beta:return betareturn alpha

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