数学建模：方差分析模型

1.方差分析模型引入

考虑的模型，它的自变量是只能取0,1两个值的示例变量。这种变量往往比较两个多个因素的某种效益存在与否。比如考试及格为0，不及格为1.

方差分析的实质：假设检验问题

一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。

方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。

方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。

1.2 方差分析模型需要满足的条件

要求所考虑样本满足的条件

① 独立性：各组数据相互独立、互不相关

② 正态性：对于偏态分布的变量通过对数、倒数、平方根变化等方法，变为正态分布或者近似正态分布再来进行方差分析

③ 方差齐性

1.3 方差分析的主要用途

使用场景：

制造商有两种不同的方法来制造灯泡。他们想知道一个过程是否比另一个好。
一组患者正在尝试三种不同的疗法:咨询、药物治疗和生物反馈。你想知道哪一种疗法是否比其他的更好。

方差分析主要用途：

①均值差别的显著性检验

②分离各有关因素并估计其对总变异的作用

③分析因素间的交互作用

④方差齐性检验

1.4 例子

例1：比较三种小麦品种的优劣，选六块面积相等，土质肥沃程度一样的田地，每种小麦播种在其中的两块田内，给予完全相同的田间管理。问每块田小麦的产量？

用yijy_{ij}yij表示第iii种小麦的第jjj块田的产量。对yijy_{ij}yij作如下分析：
yij=μ+αi+eijy_{ij} = \mu+\alpha_i+e_{ij}\\ yij=μ+αi+eij
μ\muμ：总均值

αi\alpha_iαi：第i种小麦品种的效益

eije_{ij}eij：是随机误差，表示所有其他未知控制因素以及各种误差的总效应。
1号小麦2块田地产量：{y11=μ+α1+e11y12=μ+α1+e122号小麦2块田地产量：{y21=μ+α2+e21y22=μ+α2+e221号小麦2块田地产量：{y31=μ+α3+e31y22=μ+α3+e321号小麦2块田地产量：\begin{cases} y_{11} = \mu+\alpha_1+e_{11}\\ y_{12} = \mu+\alpha_1+e_{12}\\ \end{cases}\\ 2号小麦2块田地产量：\begin{cases} y_{21} = \mu+\alpha_2+e_{21}\\ y_{22} = \mu+\alpha_2+e_{22}\\ \end{cases}\\ 1号小麦2块田地产量：\begin{cases} y_{31} = \mu+\alpha_3+e_{31}\\ y_{22} = \mu+\alpha_3+e_{32}\\ \end{cases} 1号小麦2块田地产量：{y11=μ+α1+e11y12=μ+α1+e122号小麦2块田地产量：{y21=μ+α2+e21y22=μ+α2+e221号小麦2块田地产量：{y31=μ+α3+e31y22=μ+α3+e32

例2：Y:药效度量指标比较三种药治疗某种疾病的效果。

假设每种药各有n个人服用，采用双盲方法：病人不知道自己服用哪种药；医生也不知道哪个病人服用哪种药 yijy_{ij}yij为服用第i种药的第j个病人的药效测量值
yij=μ+αi+eiji=1,2,3,j=1,...,ny_{ij} = \mu+\alpha_i+e_{ij}\qquad i = 1,2,3,j=1,...,n\\ yij=μ+αi+eiji=1,2,3,j=1,...,n
μ\muμ：总平均

αi\alpha_iαi：表示第iii种药的效应

eije_{ij}eij：表示随机误差

模型：
[y11⋮y1ny21⋮y2ny31⋮y3n]=[1100⋮⋮⋮⋮11001010⋮⋮⋮⋮10101001⋮⋮⋮⋮1001][μα1α2α2]+[e11⋮e1ne21⋮e2ne31⋮e3n]\begin{bmatrix} y_{11}\\ \vdots\\ y_{1n}\\ y_{21}\\ \vdots\\ y_{2n}\\ y_{31}\\ \vdots\\ y_{3n} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&1&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&1&0&0\\ 1&0&1&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&0&1&0\\ 1&0&0&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mu\\\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} e_{11}\\ \vdots\\ e_{1n}\\ e_{21}\\ \vdots\\ e_{2n}\\ e_{31}\\ \vdots\\ e_{3n} \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡y11⋮y1ny21⋮y2ny31⋮y3n⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋮11⋮11⋮11⋮10⋮00⋮00⋮01⋮10⋮00⋮00⋮01⋮1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡μα1α2α2⎦⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡e11⋮e1ne21⋮e2ne31⋮e3n⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

y=Xβ+ey\qquad =\quad\qquad X\qquad\beta\quad\qquad+\qquad e y=Xβ+e

1.5方差分析模型

方差分析：源于农业田间试验。

某个农业试验基地引进a种小麦品种将一块田划分为面积相等的n个小块 n1块种第一种小麦，n2块种第二种小麦，等(n1+n2 +…+na…=n) 只考虑小麦品种，忽略其他因素（施肥量、浇水等对这n块田都控制在相同状态下）

2.单因素方差分析模型

2.1 单因素概念

① 考虑的因素：小麦品种

② 每种具体的品种 : 称为小麦品种这个因素的一个“水平”

所考虑问题为 “单因素a个水平的问题”

用yijy_{ij}yij表示第iii种小麦的第jjj块田的产量,i=1,...,a;j=1,...,nii = 1,...,a;j=1,...,n_ii=1,...,a;j=1,...,ni

对固定的iii，yi1,yi2,...,yi,niy_{i1},y_{i2},...,y_{i,ni}yi1,yi2,...,yi,ni分别为种植第iii种小麦在第nin_ini块田的产量

2.2单因素方差分析模型

2.2.1 假设检验

{yij=μ+αi+eijeij服从N(0,σ2)∑i=1aniαi=0\begin{cases} y_{ij} = \mu+\alpha_i+e_{ij}\\ e_{ij}服从N(0,\sigma^2)\\ \sum\limits_{i=1}^{a} n_i\alpha_i=0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧yij=μ+αi+eijeij服从N(0,σ2)i=1∑aniαi=0

假设检验

检验模型的因素A的a个水平下的均值是否有显著的差异

假设检验：
$$
H_0：\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_a

上述假设若成立则等价于证明了：上述假设若成立则等价于证明了：上述假设若成立则等价于证明了：
H_0：\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_a=0
$$
即若H0被接受则有因素A的各水平效应之间没有显著的差异

H0被拒绝，则因素A的各水平效应之间有显著的差异

2.2.2统计量的推导

SSTSS_TSST

SST=∑i=1a∑j=1ni(yij−y‾)2=∑i=1a∑j=1ni[(yij−y‾i)2+(y‾i−y‾)2]=SSE+SSASS_T=\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\overline y)^2=\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{n_i}[(y_{ij}-\overline y_i)^2+(\overline y_i-\overline y)^2]=SS_E+SS_A SST=i=1∑aj=1∑ni(yij−y)2=i=1∑aj=1∑ni[(yij−yi)2+(yi−y)2]=SSE+SSA

统计量

F=SSA/(a−1)SSE/(n−a)F = \frac{SS_A/(a-1)}{SS_E/(n-a)} F=SSE/(n−a)SSA/(a−1)

F值无限接近于1时，H0成立。

若H0不成立时，则F值倾向于较大。
F=SSA/(a−1)SSE/(n−a)∽Fa−1,n−aF=\frac{SS_A/(a-1)}{SS_E/(n-a)}\backsim F_{a-1,n-a} F=SSE/(n−a)SSA/(a−1)∽Fa−1,n−a

3.SPSS单因素分析实例说明

现有工厂A、B、C,生产同一型号的电池，为比较其质量,从各厂的产品中随机抽取6只电池，经测试得其寿命(h)如下:

(1)在显著性水平α=0.05\alpha=0.05α=0.05下检验三厂生产的电池平均寿命有无显著差异?列出方差分析表;
(2)记μs，μB和μc分别为三厂生产的电池平均寿命，写出均值之差μA−μB\mu_A-\mu_BμA−μB，μA−μC\mu_A - \mu_CμA−μC, μB−μC\mu_B-\mu_CμB−μC 的95%的置信区间

（1）解：

在两两比较选项中设置显著性水平为0.05：

点击确定得到结果输出，方差分析表如下：

0.000<0.05 拒绝原假设: 认为三个厂产出的电池种间有显著差异，即电池厂商对电池寿命有显著影响，到底哪一种更好，还需要进行两两比较。

（3）置信区间

由上表可知：
μA−μB的置信区间：[17.94,7.39]μA−μC的置信区间：[1.94,−8.61]μB−μC的置信区间：[−10.72,−21.28]\mu_A-\mu_B的置信区间：[17.94,7.39]\\ \mu_A-\mu_C的置信区间：[1.94,-8.61]\\ \mu_B-\mu_C的置信区间：[-10.72,-21.28]\\ μA−μB的置信区间：[17.94,7.39]μA−μC的置信区间：[1.94,−8.61]μB−μC的置信区间：[−10.72,−21.28]

从上可知三个厂的电池寿命的排行为：

μC>μA>μB\mu_C>\mu_A>\mu_B μC>μA>μB