【Gym-100837E】Optimal Rest【完全背包】

题意：

音符格式转换成长度最小且字典序最小的格式。一共有777种音节，分别是R1R1R1、R2R2R2、R4R4R4、R8R8R8、R16R16R16、R32R32R32、R64R64R64，分别表示1、12\frac{1}{2}21、14\frac{1}{4}41、18\frac{1}{8}81、116\frac{1}{16}161、132\frac{1}{32}321、164\frac{1}{64}641 拍。对于R1R2R1R2R1R2即为32\frac{3}{2}23拍，也可以表示成R1.R1.R1.。即可将相邻的一个音节化为‘.’，因此R2...R2...R2...表示R2R4R16R32R2R4R16R32R2R4R16R32。

此题给出一个音符表示格式，要求转化为长度最短且字典序最小的方式。

例如 R1R4R16R1R4R16R1R4R16 转化为 R16R1R4R16R1R4R16R1R4 。

思路：

比赛的时候遇到这题，错误地当成了贪心问题进行考虑，导致始终无法AC。

现在我们来观察这个问题，这个表达式所有音节的拍数相加之和是不变的，而每一个音节单元的拍数和长度也都是确定的，因此等价于一个完全背包问题。

因此如果此题没有要求给出一个字典序最小的方案，只要求最短长度的话。dp[i]dp[i]dp[i]表示音符表达式拍数为iii所需的最短长度，然后直接跑一个完全背包即可。

但是这题还要求求出长度最小时字典序最小，因此我们需要考虑状态方程。我一开始的错误做法是两维forforfor循环，第一维枚举用到了第iii个音节单元，第二维枚举当前拍数jjj，然后在转移时若是小于，直接转移，若是等于，则比较当前音节单元字典序与dp[j]的最后一个音节单元字典序。这样会wawawa，因为无法保证字典序最小。

但是如果换一种枚举方式就可以通过此题，第一维forforfor循环枚举音节拍数iii，第二维枚举使用了第jjj个音节单元，然后 ====== 部分的转移仍比较当前jjj与dp[i]dp[i]dp[i]的上一个音节单元字典序即可通过此题。原因在于求取dp[i]dp[i]dp[i]的时候，已经使用了所有的音节单元，而前一种枚举方式并没有用上所有的音节单元所以导致出错。

当然此题也可以字典序倒序枚举前iii个音节单元，也可以通过此题。

处理完这部分之后，就是完全背包的路径输出了，由于完全背包dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]是由dp[i][j−w[i]]dp[i][j-w[i]]dp[i][j−w[i]]转移而来，即同维转移而来，因此不需要不需要010101背包的二维记录路径，直接使用一维进行路径记录，即上一次由哪个音节单元转移而来即可。

总结：

此题考查了完全背包的两个内容，一是完全背包求取过程中加上了对于字典序最小的求解，二是完全背包的一维路径输出。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
#define LOG3(x1,x2,y1,y2,z1,z2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << " , " << z1 << ": " << z2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 3200000+10;
const int M = 1e5+100;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;char s[N];
int len,n,tot,dp[N],pre[N],ttp[N];
// int str[N][33];
// string str[N];
//v: 拍数, w: 长度
//len: 总拍数
//用最少的长度凑满总拍数
//dp[i]: 表示凑满拍数为i所需的最少长度struct Node{int num,sum,ctt,v,w; //num: 编号，sum: .个数，ctt: 选了多少个, v: 拍数, w: 字符长度string ss;bool operator < (Node xx) const {if(num == xx.num) return sum > xx.sum; else return (ss < xx.ss);}
}ans[30];void solve()
{memset(dp,0x3f,sizeof dp);dp[0] = 0;rep(j,1,len) //音符长度rep(i,1,tot){ //枚举所有音符单元if(j >= ans[i].v){if(dp[j] > dp[j-ans[i].v]+ans[i].w){dp[j] = dp[j-ans[i].v]+ans[i].w;pre[j] = i;}else if(dp[j] == dp[j-ans[i].v]+ans[i].w){if(pre[j] > i){ //之前的字典序更大dp[j] = dp[j-ans[i].v]+ans[i].w;pre[j] = i;      }}}}int tp = len;while(tp > 0){ //完全背包一维记录路径, 直接回溯ans[pre[tp]].ctt++;tp = tp-ans[pre[tp]].v;}rep(i,1,tot)rep(j,1,ans[i].ctt)cout << ans[i].ss;cout << endl;
}int main()
{// freopen("e.in","r",stdin);// freopen("e.out","w",stdout);scanf("%s",s+1); n = strlen(s+1);int num;//获取拍数总长度rep(i,1,n){num = 0;if(s[i] == 'R'){i++;while(s[i] != 'R' && i <= n && s[i] != '.'){num = num*10+s[i]-'0';i++;}}int tt = 64/num;// LOG2("i",i,"tt",tt);len += tt;if(s[i] == '.'){while(s[i] != 'R' && i <= n){tt /= 2;len += tt;i++;}}i--;}//构造所有音符单元rep(i,1,7){rep(j,0,i-1){int tp = 1<<(i-1);++tot;ans[tot].v += tp;rep(k,1,j){tp /= 2, ans[tot].v += tp;}ans[tot].w = j+1;if(i <= 3) ans[tot].w += 2;else ans[tot].w += 1;ans[tot].sum = j;ans[tot].num = 1<<(7-i);}}rep(i,1,tot){ans[i].ss = "\0";string tpp;tpp += 'R';tpp += to_string(ans[i].num);rep(j,1,ans[i].sum) tpp += ".";ans[i].ss = tpp;}sort(ans+1,ans+1+tot);//按字典序构造音符单元 —— 非关键操作, 也可直接打表输入Node tp = ans[7];rep(i,8,10) ans[i-1] = ans[i];ans[10] = tp;// rep(i,1,tot)// LOG3("i",i,"ss",ans[i].ss,"v",ans[i].v);solve();return 0;
}

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