瑞利衰落信道容量及瑞利衰落条件下中断容量对AWGN容量的占比

前几天老师让推导了瑞利信道容量公式以及信道容量与信噪比的关系，差不多就是这个：

前面两周一度以为是把这个题手工肝出来，结果就是肝不出来（好难过好伤心我好菜），然后开会的时候发现老师主要看仿真出来的图，同时还顺手又给我了一个任务：仿真fundamental of wireless communicating这本书上figure5.14 $\epsilon$ -outage capacity as a fraction of AWGN capacity under Rayleigh fading, for $\epsilon$ = 0.1 and $\epsilon$ = 0. 01（灰灰哭泣）,就是这个图：

好吧，算是一波未平一波又起了，不过明确了目标啥都好做了，MATLAB走起。首先对于这个信道可以看做单入单出的MIMO信道，也就是SISO信道，扒拉了一位大佬的MIMO信道容量仿真代码然后稍微修改了一下（下已附链接，如侵权请联系删除）：

就是改成了利用raylrnd函数产生瑞利随机变量 $h_{i}$ 对其遍历，将收发天线数置为1，遍历原理如下：

该图截自参考文章二

至此，第一个任务应该是完成了吧，应该没错吧（灰灰哭泣）。代码被我改的和第二个任务整合一起了，文末一起放出来。

对于无线通信原理这本书上，有下面这几个公式：

高信噪比下：

$C_{\epsilon }\approx C_{awng.h} - log(\frac{1}{F^{-1}(1-\epsilon )}) = C_{awng.h} + log(F^{-1}(1-\epsilon ))$

低信噪比下：

$C_{\epsilon } \approx C_{awgn.l}F^{-1}(1-\varepsilon )$

公式好多不全部打出来了，（灰灰手累）

那么什么算高信噪比，什么算低信噪比呢？在原文中我并没有找到关于高低的定义，可能是我没仔细看吧，不过在郑贱平老师的lecture4中我找到了如下的讲解：

我理解的意思就是在0<x<<1的时候认为是低信噪比条件，低 SNR 时慢衰落信道中断容量仅为AWGN信道容量的 $\epsilon$ 部分，在其他情况下认为是高信噪比条件，也就是高 SNR时，慢衰落信道中断容量比高斯信道容量小 $-log(\epsilon )$ （因为 $log(\epsilon )$ 为负，所以是小 $-log\left ( \epsilon \right )$ ）。

仿真图：

好吧，跟书上那个曲线走势基本一致，任务完成。

代码如下：

%% 参数设置
clear;clc;close all;
SNRs_dB=-10:0.1:40;       % 信噪比
sigma1 = 0.01;sigma2 = 0.1;
SNRs=10.^(SNRs_dB/10);
N_SNR = length(SNRs);
N_iter=1000;            % 迭代次数
C = zeros(1, N_SNR);
%% 主函数
NT = 1;NR = 1;
I = eye(1);%1*1矩阵
for iiiter = 1:N_iterH = sqrt(0.5)*(raylrnd(NR,NT)+1j*raylrnd(NR,NT));HH = H*H'; for iiSNR = 1:N_SNRC(1,iiSNR) = C(1,iiSNR)+log2(real(det(I+SNRs(iiSNR)/NT*HH)));end
end
C = C./N_iter;%遍历容量for SNRa=-10:0.1:40if SNRa>0&&SNRa<0.1Ca1 = 1/sigma1*C;Ca2 = 1/sigma2*C;elseCa1 = C - log2(sigma1);Ca2 = C - log2(sigma2);end
endCq1 = C./Ca1;Cq2 = C./Ca2;
figure('name','capacity of rayleigh fading channel')
plot(SNRs_dB,C);
figure('name','outage capacity as a fraction of AWGN capacity under Rayleigh fading')
plot(SNRs_dB,Cq1,'b',SNRs_dB,Cq2,'r');
xlabel('SNR[dB]');
ylabel('bps/Hz');
set(gca,'fontsize',10);
grid on
s1='{\it sigma}=0.01';
s2='{\it sigma}=0.1';
legend(s1,s2)

参考文章一：举熙熙然回巧献技初识MIMO（二）：MIMO的信道容量及仿真

参考文章二：xwcbigboy 遍历容量（各态历经容量）

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