曲面上的测地线 MATLAB,§6曲面上的测地线.PDF

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§6 曲面上的测地线

一、曲面曲线的测地曲率

二、曲面上的测地线

三、曲面上的半测地坐标网

四、曲面上测地线的短程性

五、Gauss( 高斯)-Bonnet( 波涅)公式

六、曲面上向量的平行移动

*七、极小曲面

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一、曲面曲线的测地曲率



 

 

称r   k 为(C)在P点的曲率向量.



称曲率向量在 上的投影k 为(C)在P点的测地曲率.

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测地曲率的性质



  



k  r   k 



 

 k (n )



   

 k(  ) n  k n



 kcos( ) ksin.

P146命题1. 2 2 2

k  k  k .

g n

P146命题2.

曲面S上的曲线(C), 它在P点的测地曲率的绝对值等



于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C )的曲率.

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测地曲率的计算

1 2 1 i j

du d u 1 du du

2  ij

ds ds ds ds

i, j

k  g

g 2 2 2 i j

du d u 2 du du

2  ij

ds ds ds ds

i, j

k 属于曲面的内蕴量(在保长变换中保持不变)，

即曲面曲线的曲率依赖于第一基本形式的部分.

该式容易记忆, 但计算比较复杂. 如果在曲面上取正交坐

标网, 则k 能够写成比较简的表达式(即Liouville公式).

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Liouville(刘维尔)公式

设曲面S 的曲纹坐标网为正交网, 因而曲面的的第一基

2 2

本形式是I  E(du) G(dv) . 设(C) : u  u(s), v  v(s)

是曲面S上的一条曲线, 其中s是弧长参数. 假定(C)

u- 曲线的夹角是, 则曲线(C)的测地曲率是

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