[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.24

设 $\sed{n_k}$ 是自然数列 $\sed{n}$ 的子序列, 试证:

(1). 当 $n_k-n_{k-1}\geq 1$ 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 收敛;

(2). 当 $n_k-n_{k-1}\leq g$ (常数) 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 发散;

(3). 当 $n_k-n_{k-1}\geq k^r\ (r>0)$ 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 收敛.

证明:

(1). 由 $$\bex n_k\geq n_{k-1}+k\geq n_{k-2}+(k-1)+k\geq \cdots \geq 1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2} \eex$$ 知 $$\bex \vsm{k}\frac{1}{n_k} \leq 2\vsm{k}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{2}. \eex$$

(2). 由 $$\bex n_k\leq n_{k-1}+g\leq \cdots \leq n_1+(n-1)g \eex$$ 知 $$\bex \vsm{k}\frac{1}{n_k}\geq \vsm{k}\frac{1}{n_1+(n-1)g}=+\infty. \eex$$

(3). 由 $$\beex \bea n^r&\geq 1^r+2^r+\cdots +k^r\geq 1+\sum_{i=2}^k \int_{i-1}^i i^r\rd x \geq 1+ \sum_{i=2}^k \int_{i-1}^i x^r\rd r\\ & =1+\sum_{i=2}^k \frac{i^{r+1}-(i-1)^{r+1}}{r+1} =1+\frac{k^{r+1}+1}{r+1} \eea \eeex$$ 知 $$\bex \vsm{k}\frac{1}{n_k} \leq \vsm{k}\frac{1}{1+\frac{k^{r+1}-1}{r+1}} <\infty. \eex$$

转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/4507317.html

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.24相关推荐

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.5
证明: 若删去调和级数中所有分母含有数字 $9$ 的项, 则新级数收敛, 且和小于 $80$. 证明: 对 $m=1,2,\cdots$, $[10^{m-1},10^m)$ 中的自然数的十进制表示中 ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.8
需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 设 $f(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上可微; 且 $x\to\inf ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.20
设 $a>0$, 函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续可微, 证明: $$\bex |f(0)|\leq \frac{1}{a}\int_0^a |f(x)|\rd x+\int_0^ ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.21
设数 $a>0$, $\sed{p_n}$ 是一个数列, 并且 $p_n>0$, $p_{n+1}\geq p_n$. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{p_n-p_{ ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.13
证明: 如果在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足 $$\bex \int_x^{x+1}f(x)\rd t=0, \eex$$ 那么 $f(x)$ 是周期函数. ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.27
求 $\dps{\lim_{t\to +\infty}\sex{\frac{1}{t} +\frac{2t}{t^2+1^2}+\frac{2t^2}{t^2+2^2}+\cdots+\frac{2t ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.23
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 又 $\dps{F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+\int_b^x \frac{1}{f(t)}\rd t} ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.15
$[a,b]$ 上的连续函数列 $\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,\cdots$ 满足 $\dps{\int_a^b \varphi_n^2(x)\rd x= ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.3
求 $\dps{\int_0^\infty f(x^p+x^{-p}) \frac{\ln x}{1+x^2}\rd x}$ (函数 $f(x)$ 连续) 解答: $$\beex \bea \mbox ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.14
设 $f(x)$ 处处连续, $\dps{F(x)=\frac{1}{2\delta}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\rd t}$, 其中 $\delta$ 为任何正数. 证 ...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.24

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.24相关推荐

最新文章

热门文章