前前言

每到临近毕业季的时候，这篇文章的关注就会突然增多。很开心能跟大家分享、讨论、共同进步；但也有很多伸手党问我要源文件，这里统一答复：没有。一是确实由于时间比较长，源文件找不到了；二是我用到的大部分代码(除了文中的target模块代码)都贴了出来，没必要再整个源文件，想复现的话照着做就一定能复现。所以请不要再问我能不能分享源文件了，当然别的问题可以一起交流讨论~

前言

考虑平面运动机器人，自由度有3个，分别是x,y,θx,y,\thetax,y,θ，控制量为机器人的线速度vvv和横摆角速度ω\omegaω，希望实现机器人跟踪目标轨迹。

文章对控制算法原理进行简要介绍，最后有Matlab Simulink 实现

运动学模型

懒得画图，直接在网上找了个示意图。

运动学模型比较简单，直接给出结果

{x˙=vcos⁡(θ)y˙=vsin⁡(θ)θ˙=ω\left \{\begin{array}{l} \dot{x}=v\cos(\theta)\\ \dot{y}=v\sin(\theta)\\ \dot\theta=\omega \end{array}\right. ⎩⎨⎧x˙=vcos(θ)y˙=vsin(θ)θ˙=ω

误差模型

误差模型一般是定义在车体坐标系下，因此需要乘变换矩阵转化一下。

定义：全局坐标系下误差xe=xr−x,ye=yr−y,θe=θr−θx_e=x_r-x,y_e=y_r-y,\theta_e=\theta_r-\thetaxe=xr−x,ye=yr−y,θe=θr−θ；局部坐标系误差e1,e2,eθe_1,e_2,e_{\theta}e1,e2,eθ。
其关系可表达为：
[e1e2eθ]=[cos⁡θsin⁡θ0−sin⁡θcos⁡θ0001][xeyeθe]\left[\begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \\ e_{\theta} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_e \\ y_e \\ \theta_e \end{array}\right] ⎣⎡e1e2eθ⎦⎤=⎣⎡cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎦⎤⎣⎡xeyeθe⎦⎤
对其求导，整理为误差模型
{e˙1=ωe2−v+vrcos⁡eθe˙2=−ωe1+vrsin⁡eθe˙θ=ωr−ω\left\{\begin{array}{l} \dot{e}_{1}=\omega e_{2}-v+v_{r} \cos e_{\theta} \\ \dot{e}_{2}=-\omega e_{1}+v_{r} \sin e_{\theta} \\ \dot{e}_{\theta}=\omega_{r}-\omega \end{array}\right. ⎩⎨⎧e˙1=ωe2−v+vrcoseθe˙2=−ωe1+vrsineθe˙θ=ωr−ω
对移动机器人的运动学模型而言，实现轨迹跟踪控制便是寻找合适的线速
度vvv 和角速度ω\omegaω ，并将vvv 和ω\omegaω 作为控制输入，使得系统的位姿误差e=[e1e2e3]Te=[e_1~ e_2 ~e_3]^Te=[e1 e2 e3]T能够保持有界，且当t→∞t \rightarrow \inftyt→∞ 时 , ∥e∥=0\quad\|e\|=0∥e∥=0恒成立

反步法(Backstepping)设计控制律

误差模型为非线性模型，可以通过将其线性化的方式然后用线性化控制理论处理，但此类方法的鲁棒性不高。这里直接采用非线性控制器的设计方法-反步法。反步法的核心是基于Lyapunov稳定性定理，将复杂的系统分解为几个子系统，然后依次设计控制律使子系统稳定，进而保证整个系统稳定。

定义虚拟反馈变量e1ˉ\bar{e_1}e1ˉ
e1ˉ=e1−k1e2(ω1+ω2)\bar{e_1}=e_1-k_1e_2(\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^2}})e1ˉ=e1−k1e2(1+ω2ω)
选取Lyapunov函数VyV_yVy
Vy=0.5e22V_y=0.5e_2^2Vy=0.5e22
其导数为：
Vy˙=e2(−ωe1+vrsin⁡eθ)\dot{V_y}=e_{2}\left(-\omega e_{1}+v_{r} \sin e_{\theta}\right)Vy˙=e2(−ωe1+vrsineθ)
当e1→k1e2(ω1+ω2)e_1 \rightarrow k_1e_2(\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^2}})e1→k1e2(1+ω2ω)且eθ→0e_{\theta} \rightarrow 0eθ→0时
Vy˙=−k1ω(ω1+ω2)e22≤0\dot{V_y}=-k_{1} \omega (\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^2}}) e_{2}^{2} \leq 0Vy˙=−k1ω(1+ω2ω)e22≤0
由Lyapunov定理可得，t→∞t \rightarrow \inftyt→∞时，e2→0e_2 \rightarrow 0e2→0(PS:这里的证明不太严谨，更加严谨的证明请参阅参考文献)。

因此下一步的目标则是，设计控制量v和ωv和\omegav和ω, 使得 lim⁡t→∞e1=k1e2(ω1+ω2)\lim _{t \rightarrow \infty} e_{1}=k_1e_2(\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^2}})limt→∞e1=k1e2(1+ω2ω) 即 lim⁡t→∞eˉ1=0\lim _{t \rightarrow \infty} \bar{e}_{1}=0limt→∞eˉ1=0 且 lim⁡t→∞eθ=0\lim _{t \rightarrow \infty} e_{\theta}=0limt→∞eθ=0。

选取系统Lyapunov函数：
V=12eˉ12+12e22+2k2(1−cos⁡eθ4)V=\frac{1}{2} \bar{e}_{1}^{2}+\frac{1}{2} e_{2}^{2}+\frac{2}{k_{2}}\left(1-\cos \frac{e_{\theta}}{4}\right)V=21eˉ12+21e22+k22(1−cos4eθ)
对其求导，并化简有：
V˙=e1ˉe1ˉ˙+e2e˙2+1k2sin⁡(θe2)θ˙e=e1ˉ⋅[−v+vrcos⁡θe−k1ω˙e2(1+ω2)32−k1ω1+ω2(−ωe1+vrsin⁡θe)]−k1e22ω21+ω2+1k2sin⁡(θe2)(ωr−ω+2k3e2vrcos⁡(θe2))\begin{aligned} &\dot{V}=\bar{e_1} \dot{\bar{e_1}}+e_{2} \dot{e}_{2}+\frac{1}{k_{2}} \sin \left(\frac{\theta_{e}}{2}\right) \dot{\theta}_{e} \\ &=\bar{e_1} \cdot\left[-v+v_{r} \cos \theta_{e}-\frac{k_{1} \dot{\omega} e_{2}}{\left(1+\omega^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right. \left.-\frac{k_{1} \omega}{\sqrt{1+\omega^{2}}}\left(-\omega e_{1}+v_{r} \sin \theta_{e}\right)\right]-k_{1} e_{2}^{2} \frac{\omega^{2}}{\sqrt{1+\omega^{2}}} \\ &+\frac{1}{k_{2}} \sin \left(\frac{\theta_{e}}{2}\right)\left(\omega_{r}-\omega+2 k_{3} e_{2} v_{r} \cos \left(\frac{\theta_{e}}{2}\right)\right) \end{aligned} V˙=e1ˉe1ˉ˙+e2e˙2+k21sin(2θe)θ˙e=e1ˉ⋅[−v+vrcosθe−(1+ω2)23k1ω˙e2−1+ω2k1ω(−ωe1+vrsinθe)]−k1e221+ω2ω2+k21sin(2θe)(ωr−ω+2k3e2vrcos(2θe))

这里化简需要用到一些三角函数代换，比如sin⁡eθ=4sin⁡eθ4cos⁡eθ4cos⁡eθ2\sin e_{\theta}=4 \sin \frac{e_{\theta}}{4} \cos \frac{e_{\theta}}{4} \cos \frac{e_{\theta}}{2}sineθ=4sin4eθcos4eθcos2eθ。

为保证V˙\dot{V}V˙负定，因此取控制律为
{v=vrcos⁡eθ+k1(ω1+ω2)ωe1−k1vr(ω1+ω2)sin⁡eθ−k1ω˙e2(1+ω2)32+k2(e1−k1(ω1+ω2)e2)ω=ωr+2k3e2vrcos⁡eθ2+k4sin⁡eθ2\left\{\begin{aligned} v=& v_{r} \cos e_{\theta}+k_{1}\left(\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^{2}}}\right) \omega e_{1}-k_{1} v_{r}\left(\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^{2}}}\right) \sin e_{\theta} \\ &-\frac{k_{1} \dot{\omega} e_{2}}{\left(1+\omega^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}+k_{2}\left(e_{1}-k_{1}\left(\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^{2}}}\right) e_{2}\right) \\ \omega=& \omega_{r}+2 k_{3} e_{2} v_{r} \cos \frac{e_{\theta}}{2}+k_{4} \sin \frac{e_{\theta}}{2} \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧v=ω=vrcoseθ+k1(1+ω2ω)ωe1−k1vr(1+ω2ω)sineθ−(1+ω2)23k1ω˙e2+k2(e1−k1(1+ω2ω)e2)ωr+2k3e2vrcos2eθ+k4sin2eθ
其中,k1.k2.k3.k4k1.k2.k3.k4k1.k2.k3.k4均为正常数。

Matlab 实现

在Simuklink 依据车体运动学模型建立车体运动子系统，依据上面的控制律设计控制器。
target给出目标位姿，controller给出控制量。

function y  = controller(u)
%u分别为全局坐标系下车体位姿误差和车体横摆角
%y为车体线速度和角速度%目标速度
vr=1;wr=1;
%将世界坐标系下的误差转化至车体坐标下
e1=cos(u(4))*u(1)+sin(u(4))*u(2);
e2=-sin(u(4))*u(1)+cos(u(4))*u(2);
etheta=u(3);%反步法设计控制律
% k1=1;k2=20;k3=20;k4=2;
% e1_bar=e1-k1*e2;
% omega=k2*e2*vr*cos(etheta/2)*cos(etheta/4)+k4*sin(etheta/4)+wr;
% v=vr*cos(etheta)+k3*e1_bar;%反步法设计控制律2
% k1=0.01;k2=16;k3=4;k4=16;
% omega=k2*e2*vr*cos(etheta/2)*cos(etheta/4)+k4*sin(etheta/4)+wr;
% e1_bar=e1-k1*atan(omega)*e2;
% vrdot=0;
% wrdot=0;
% omega_dot=k2*((-omega*e1+vr*sin(etheta))*vr+e2*vrdot)*cos(etheta/2)...
%     *cos(etheta/4)-(k2*e2*vr*sin(etheta/4)*(0.5+0.75*cos(etheta/2))-0.25*k4*cos(etheta/4))...
%     *(wr-omega)+wrdot;
% v=vr*cos(etheta)-k1*e2/(1+omega^2)*omega_dot-k1*atan(omega)*(-omega*e1+vr*sin(etheta))+k3*e1_bar;%反步法设计控制律3
k1=0.1;k2=50;k3=150;k4=10;
omega=2*k3*e2*vr*cos(etheta/2)+k4*sin(etheta/2)+wr;
%e1_bar=e1-k1*(omega/(1+omega^2)^0.5)*e2;
vrdot=0;
wrdot=0;
omega_dot=2*k3*((-omega*e1+vr*sin(etheta))*vr+e2*vrdot)*cos(etheta/2)-k3*e2*vr*sin(etheta/2)*(wr-omega)...+0.5*k4*cos(etheta/2)*(wr-omega)+wrdot;
v=vr*cos(etheta)+k1*omega*e1*(omega/(1+omega^2)^0.5)-k1*vr*sin(etheta)*(omega/(1+omega^2)^0.5)...-k1*omega_dot*e2/(1+omega^2)^1.5+k2*(e1-k1*e2*(omega/(1+omega^2)^0.5));%限制输出
if abs(v)>5v=sign(v)*5;
end
if abs(omega)>5omega=sign(omega)*5;
endy = [v omega];
%y =[1 0];

仿真结果

几个参数需要自己调，这里的仿真结果用到的参数为k1=0.1;k2=50;k3=150;k4=10;k1=0.1;k2=50;k3=150;k4=10;k1=0.1;k2=50;k3=150;k4=10;。
图例从上至下依次是xe,ye,θex_e,y_e,\theta_exe,ye,θe。小车的初始位置为(0,0,0);目标点的初始位置为(1,0,0)，跟踪半径为1m1m1m的圆形轨迹，线速度为1m/s1m/s1m/s。

总结

关于反步法里虚拟变量为什么要设置成e1−k1e2(ω/1+ω2)e_1-k_1e_2(\omega/\sqrt{1+\omega^2})e1−k1e2(ω/1+ω2)，我个人的理解原因是：引入−k2e2-k_2e_2−k2e2项可以使得V˙(e2)<=0\dot{V}(e2)<=0V˙(e2)<=0，说白了就是通过试凑使其变为负定，引入ω/1+ω2\omega/\sqrt{1+\omega^2}ω/1+ω2是为了更快的收敛，同时增加稳定性，当然可以选用其他形式，也可以不选，设置为1,不过控制效果没有上文中的好。（大家有什么其他的想法欢迎一起讨论）

参考文献

英文好的建议直接看英文的，写的更清楚简洁。

Hao, Y., Wang, J., Chepinskiy, S. A., Krasnov, A. J., & Liu, S. (2017). Backstepping based trajectory tracking control for a four-wheel mobile robot with differential-drive steering. 2017 36th Chinese Control Conference (CCC). doi:10.23919/chicc.2017.8028131

路少康. 轮式移动机器人轨迹跟踪控制[D].西安电子科技大学,2020.

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