二维联合分布的密度函数计算

@(概率论)

已知随机向量(X1,X2)(X_1,X_2)的概率密度为f(x1,x2)f(x_1,x_2),设Y1=2X1,Y2=13x2Y_1 = 2X_1,Y_2 = {1\over 3}x_2,则随机向量(Y1,Y2)(Y_1,Y_2)的概率密度f(y1,y2)=?f(y_1,y_2) = ?

分析：与在一维的情况相同，也需要从概率分布入手。即：

F2(y1,y2)=P(Y1≤y1,Y2≤y2)=P(X1≤12y1,X2≤3y2)=F1(12y1,3y2)

F_2(y_1,y_2) = P(Y_1\leq y_1, Y_2 \leq y_2) \\ = P(X_1 \leq {1\over 2}y_1, X_2 \leq 3y_2) \\ = F_1({1\over 2}y_1,3y_2)

由此出发，再求密度函数。

f2(y1,y2)=δ2F2(y1,y2)δy1δy2=δ2F1(12y1,3y2)δy1δy2=32f1(12y1,3y2)

f_2(y_1,y_2) = {{\delta^2 F_2(y_1,y_2)}\over { \delta y_1 \delta y_2}} \\ = {{\delta^2 F_1({1\over 2}y_1, 3y_2})\over { \delta y_1 \delta y_2}} \\ = {3\over 2} f_1( {1\over 2} y_1, 3y_2)

仔细思考这种计算的方法，可加深对二维联合分布的理解。

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