有限项加和的极限求解思路定式

@(微积分)

设m是有限大小的正整数。

a1f1(x),a2f2(x),a3f3(x),...,amfm(x)a_1f_1(x),a_2f_2(x),a_3f_3(x),...,a_mf_m(x)是一系列数值。

则,
max(aifi(x))≤∑mi=1aifi(x)≤m⋅max(aifi(x))max(a_if_i(x)) \leq \sum_{i=1}^ma_if_i(x) \leq m\cdot max(a_if_i(x))

简单描述就是，有限项和的极限值大于等于最大的一项，或者小于等于m个最大项的和。

这在根号下n次方的极限计算中尤为典型。

limn→∞an1+an2+...+anm‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√n=maxai\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_m^n} = max a_i

注意：m‾‾√n=1,n→∞时\sqrt[n]m = 1, n\rightarrow \infty时。

比如：

（2005，7）设函数f(x)=limn→∞1+|x|3n‾‾‾‾‾‾‾‾√nf(x) = \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{1+|x|^{3n}},则在(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)内，f(x)有：两个不可导点。

分析：用上面的思路解。可知：

f(x)=max(1,|x|3n‾‾‾‾√n)=⎧⎩⎨⎪⎪−x3,1,x3,x<1,x∈[−1,1],x>1

f(x) = max(1,\sqrt[n]{|x|^{3n}})\\= \begin{cases}-x^3, & x1\end{cases}

简单画出图像可知有两个不可导点。

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