从排列与组合的python实现到生日问题的解释

在数论及Python实践一文中，我们介绍了组合的基本定义以及一些常规实现方法，并未充分发挥python语言的优势，本文我们从reduce函数的角度（从这个角度我们应当恢复reduce正宫娘娘的地位，因为在python3中Guido将reduce从系统内置函数降格为functools中的函数），重新实现给出排列组合的各自实现，以及据此给出”生日问题”的概率解释。

(nk)=n!k!(n−k)! (nk)=(n−1k)+(n−1k−1)

\begin{split} &\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\ &\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} \end{split}
第二行公式可看做其递归定义式。我们换个记号继续推导：

C k n === C k n−1 +C k−1 n−1 C k n−1 +C k−1 n−2 +C k−2 n−2 ⋯

\begin{split} C_n^k=&C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}\\ =&C_{n-1}^k+C_{n-2}^{k-1}+C_{n-2}^{k-2}\\ =&\cdots \end{split}
这里还有一个经典的结论：

∑ k=0 n (nk)=2 n

\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n
如何证明，其实很简单，回归定义（组合数combination，又叫二项式系数binomial coefficients），对 2 n 2^n进行二项展开，即：

2 n === (1+1) n (n0)+(n1)+⋯+(nn−1)+(nn)∑ k=0 n (nk)

\begin{split} 2^n=&(1+1)^n\\ =&\binom n0+\binom n1+\cdots+\binom n{n-1}+\binom n{n}\\ =&\sum_{k=0}^n\binom nk \end{split}

2 n 2^n 这不正是二进制嘛！这个结论有什么用？举个栗子，给定三个卡片，编号为 1−3 1-3，使用该等式可得其会有 2 3 =8 2^3=8种组合（combinations或叫subsets）（包括空集）：

|{{};{1};{2};{3};{1,2};{1,3};{2,3};{1,2,3}}|=8

|\{\{\};\{1\};\{2\};\{3\};\{1,2\};\{1,3\};\{2,3\};\{1,2,3\}\}|=8
以二进制的形式理解的话即为：

0：000
1：001
2：010
3：011
4：100
5：101
6：110
7：111

再来考虑这样一种情形，从 n n个数中随机选择 k k个，再从余下的 n−k n-k个随机选择p p个，组合数一共多少：

(nk)⋅(n−kp)=n!k!(n−k)! ⋅(n−k)!p!(n−k−p)! =n!k!p!(n−k−p)!

\binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{p}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{(n-k)!}{p!(n-k-p)!}=\frac{n!}{k!p!(n-k-p)!}
将此记为：(nk,p) \binom{n}{k,\,p}，也即 (nk,p)=n!k!p!(n−k−p)! \binom{n}{k,\,p}=\frac{n!}{k!p!(n-k-p)!}

再来看几个结论：

A k n =n!(n−k)!

A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}
所以有：

(nk)A k k =n!k!(n−k)! k!=A k n

\binom{n}{k}A_k^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}k!=A_n^k

N k ≠[A k N =(Nk)A k k ]

N^k\neq \left [ A_N^k=\binom{N}{k}A_k^k\right ]

左边允许重复，右边不允许重复；

当我们试图用reduce实现组合数的计算时，

(nk)=n!k!(n−k)! =∏ i=n−k+1 n ik! =A k n k!

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{\prod\limits_{i=n-k+1}^ni}{k!}=\frac{A_n^k}{k!}

from functools import reduce
import operatordef fac(n):return reduce(operator.mul, range(1, n+1), 1)# 阶乘n!的定义# reduce与operator.mul结合
def perm(n, k):return reduce(operator.mul, range(n-k+1, n+1), 1)   # 排列数的定义
def comb(n, k):return perm(n, k)//fac(k)                   def test():print('{}!={}'.format(5, fac(5)))print('A_{}^{}={}'.format(5, 2, perm(5, 2)))print('C_{}^{}={}'.format(5, 2, comb(5, 2)))
if __name__ == '__main__':test()

运行结果为：

5!=120
A_5^2=20
C_5^2=10

由以上准备，我们可求解概率论史上的经典问题（概率论史上的经典问题一般是指违反直觉的那些问题）”生日问题”：

一次聚会上，只要有23个人，就有50%的可能性其中至少有两个人生日相同，如果人数达到50人，至少有两个人生日相同的概率达到97%。（这个结论很恐怖，只要是班上的人数超过50，老师便可以说，我们班至少有两个人生日相同，其实在人数超过23的时候，我们便可以这么说，应为概率占优，注意，是班上会有来个人生日相同，不是说，班上至少存在一个人生日生日与我相同）。

当然这类问题从其~~反问题~~对立事件出发，1−P(所有人都不在同一天)=P(至少有两人在同一天) 1-P(所有人都不在同一天)=P(至少有两人在同一天)，

p=1−A 23 365 365 23 p=1−A 50 365 365 50

p=1-\frac{A_{365}^{23}}{365^{23}}\\ p=1-\frac{A_{365}^{50}}{365^{50}}

这里的A 50 365 A_{365}^{50}可以理解为，随意指定一个生日，他生日所在的自由度（或者作可选空间）为365，则下一个人只有365-1的自由度，依次类推。365 50 365^{50}是考虑到这50个人的生日大体独立，也即每一个的生日都有365个自由度（也即365种选择）。所谓概率，频率的观点（另有贝叶斯的观点）来看就是出现的次数与总的可能性之比。

>>> 1-perm(365, 23)/(365**23)
0.5072972343239854
>>> 1-perm(365, 50)/(365**50)
0.9703735795779884

注意：如果预先指定一个生日，随机选取125人，250人，500人，出现某人生日正好是这一生日的概率分别是：

1−(364365 ) 125 ≈0.290316187907482261−(364365 ) 250 ≈0.496348886853832051−(364365 ) 500 ≈0.7463355562266258

1-(\frac{364}{365})^{125}\approx0.29031618790748226\\ 1-(\frac{364}{365})^{250}\approx0.49634888685383205\\ 1-(\frac{364}{365})^{500}\approx0.7463355562266258

比想象的要小很多，再次说明概率中的许多问题都比较违反直觉。

补充：

365 50 ≠(36550)A 50 50

365^{50} \neq \binom{365}{50}A_{50}^{50}
为什么不等于呢？在于，左边 “允许重复”（同一个位置，既可以是你，也可以是他），右边 不允许重复；

从排列与组合的python实现到生日问题的解释相关推荐

笔记：《深入浅出统计学》第六章：排列与组合（Python实现）
1.排列--选取对象并关注这些对象的排位顺序一般排列:n! 圆形排列:(n-1)! 重复排列(k为重复对象数):n!/k! import itertools itertools.permutatio ...
python中如何求列表中的和_python实现求解列表中元素的排列和组合
求解列表中元素的排列和组合问题这个问题之前就遇到过几次没有太留意,最近在做题的时候遇上挺多的排列组合问题的,想来有必要温习一下了,今天花点时间写一下,之前都是手工写的,后来知道可以直接使用python ...
Python | 排列与组合
本文简要总结在 Python 中实现排列与组合的方法. Update: 2022 / 11 / 21 Python | 排列与组合总览方法 itertools 用法示例不考虑顺序考虑顺序 n ...
itertools库常用高效迭代器一览表，帮你快速实现数据的排列组合【python】
itertools库常用高效迭代器一览表,帮你快速实现数据的排列组合文档: https://docs.python.org/zh-cn/3/library/itertools.html iterto ...
算法第二期——排列组合（Python）
目录排列函数permutations( ) 易错点组合函数combinations( ) 手写排列和组合代码 1.暴力法
数学基础知识-排列与组合
文章目录前言一.分步乘法原理 1.定义 2.举例二.排列 1.定义 2.计算公式 3.举例分析 4.公式推导过程三.组合 1.定义 2.计算公式 3.举例分析 4.其他一些规定和转换总结前 ...
Permutation test(排列（组合）检验)
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> 对Permutation test 的首次描述可追溯到上个世纪30年代, Fisher( 1935) 和Pitman( 193 ...
多重集合的排列和组合问题
多重集合的排列和组合问题标签: permutationn2c扩展 2012-04-17 16:18 5671人阅读评论(0) 收藏举报分类: 算法(12) 版权声明:本文为博主原创文章,未 ...
排列与组合的一些定理（二）
一,容斥原理设S是一个集合,Ai 是S 中具有性质 Pi 的元素组成的子集合.那么,S中既不具有性质P1,也不具有性质P2,...更不具有性质Pn 的元素个数为: 二,容斥原理计算有限制的重组合问 ...

从排列与组合的python实现到生日问题的解释

从排列与组合的python实现到生日问题的解释相关推荐

最新文章

热门文章