logistic回归详解（三）：梯度下降训练方法

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在http://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/51165444中，我们已经对logistic回归的cost function做了完整的推导。如果是单个样本，其损失函数为：
cost(hθ(x),y)=−yilog(hθ(x))−(1−yi)log(1−hθ(x))cost(h_{\theta}(x),y) = -y_ilog(h_{\theta}(x)) - (1-y_i)log(1-h_{\theta}(x))cost(hθ(x),y)=−yilog(hθ(x))−(1−yi)log(1−hθ(x))

1.梯度下降的原理

现在问题就转化为一个无约束优化问题，即我们找出最小的θ\thetaθ，使得cost function达到最小。而在无约束优化问题中，最重要最基本的方法莫过于梯度下降（Gradient Descent)了。
描述梯度下降的资料很多，这里我选取wiki百科上的一部分内容：

梯度下降法，基于这样的观察：如果实值函数F(x)F(\mathbf{x})F(x)在点a\mathbf{a}a处可微且有定义，那么函数F(x)F(\mathbf{x})F(x)在a\mathbf{a}a点沿着梯度相反的方向$ -\nabla F(\mathbf{a})$ 下降最快。
因而，如果
b=a−γ∇F(a)\mathbf{b}=\mathbf{a}-\gamma\nabla F(\mathbf{a})b=a−γ∇F(a)
对于γ>0\gamma>0γ>0为一个够小数值时成立，那么F(a)≥F(b)F(\mathbf{a})\geq F(\mathbf{b})F(a)≥F(b)。
考虑到这一点，我们可以从函数F的局部极小值的初始估计x0\mathbf{x}_0x0出发，并考虑如下序列$ \mathbf{x}_0$, x1\mathbf{x}_1x1, x2\mathbf{x}_2x2, …\dots…使得

xn+1=xn−γn∇F(xn),n≥0\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\gamma_n \nabla F(\mathbf{x}_n),\ n \ge 0xn+1=xn−γn∇F(xn), n≥0。
因此可得到

F(x0)≥F(x1)≥F(x2)≥⋯F(\mathbf{x}_0)\ge F(\mathbf{x}_1)\ge F(\mathbf{x}_2)\ge \cdotsF(x0)≥F(x1)≥F(x2)≥⋯,
如果顺利的话序列(xn)(\mathbf{x}_n)(xn)收敛到期望的极值。注意每次迭代步长γ\gammaγ可以改变。

同样是来自wiki的一张示意图，清楚地描述了梯度下降的过程：

2.对损失函数求导并得出迭代公式

令单个样本的损失函数为：J(θ)=cost(hθ(x),y)=−yilog(hθ(x))−(1−yi)log(1−hθ(x))J(\theta)=cost(h_{\theta}(x),y) = -y_ilog(h_{\theta}(x)) - (1-y_i)log(1-h_{\theta}(x))J(θ)=cost(hθ(x),y)=−yilog(hθ(x))−(1−yi)log(1−hθ(x))，则：
∂∂θJ(θj)=−(y1g(θTx)−(1−y)11−g(θTx))∂∂θjg(θTx)=−(y1g(θTx)−(1−y)11−g(θTx))g(θTx)(1−g(θTx))∂∂θjθTx)=−(y(1−g(θTx))−(1−y)g(θTx))xj=(hθ(x)−y)xj\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial\theta}J(\theta_j) & = -\left( y{\frac{1}{g(\theta^Tx)} - (1-y)\frac{1}{1-g(\theta^Tx)}} \right) \frac{\partial}{\partial\theta_j} g(\theta^Tx) \\ & = -\left( y{\frac{1}{g(\theta^Tx)} - (1-y)\frac{1}{1-g(\theta^Tx)}} \right) g(\theta^Tx) (1 - g(\theta^Tx)) \frac{\partial}{\partial\theta_j} \theta^Tx) \\ & = - \left( y(1-g(\theta^Tx)) - (1-y)g(\theta^Tx) \right) x_j \\ & = (h_\theta (x) - y)x_j \end{aligned} ∂θ∂J(θj)=−(yg(θTx)1−(1−y)1−g(θTx)1)∂θj∂g(θTx)=−(yg(θTx)1−(1−y)1−g(θTx)1)g(θTx)(1−g(θTx))∂θj∂θTx)=−(y(1−g(θTx))−(1−y)g(θTx))xj=(hθ(x)−y)xj

注意从第一步到第二步，用到了http://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/51165444里对logistic函数求导的结论。

如果对单个样本迭代，则表达式如下：
θj:=θj−α(hθ(xi)−yi)xji\theta_j:=\theta_j - \alpha(h_\theta(x^i) - y^i)x_j ^iθj:=θj−α(hθ(xi)−yi)xji
扩展到全体样本，表达式如下：
θj:=θj−∑imα(hθ(xi)−yi)xji\theta_j:=\theta_j - \sum_i ^m \alpha(h_\theta(x^i) - y^i)x_j ^iθj:=θj−i∑mα(hθ(xi)−yi)xji

3.迭代公式向量化（vectorization)

根据第二部分我们得到的最终θ\thetaθ相关的迭代公式为：
θj:=θj−∑imα(hθ(xi)−yi)xji\theta_j:=\theta_j - \sum_i ^m \alpha(h_\theta(x^i) - y^i)x_j ^iθj:=θj−i∑mα(hθ(xi)−yi)xji 如果按照此公式操作的话，每计算一个θ\thetaθ需要循环m次。为此，我们需要将迭代公式进行向量化。

首先我们将样本矩阵表示如下：
X=[x(1)x(2)⋯x(m)]=[x0(1)x1(1)⋯xn(1)x0(2)x1(2)⋯xn(2)⋯⋯⋯⋯x0(m)x1(m)⋯xn(m)]\mathbf{X} = \left [ \begin{matrix} x^{(1)} \\ x^{(2)} \\ \cdots \\ x^{(m)} \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} x_0^{(1)} & x_1^{(1)} & \cdots & x_n^{(1)} \\ x_0^{(2)} & x_1^{(2)} & \cdots & x_n^{(2)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_0^{(m)} & x_1^{(m)} & \cdots & x_n^{(m)} \end{matrix} \right ] X=⎣⎢⎢⎡x(1)x(2)⋯x(m)⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡x0(1)x0(2)⋯x0(m)x1(1)x1(2)⋯x1(m)⋯⋯⋯⋯xn(1)xn(2)⋯xn(m)⎦⎥⎥⎥⎤
y=[y(1)y(2)⋯y(m)]\mathbf{y} = \left [ \begin{matrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \\ \cdots \\ y^{(m)} \end{matrix} \right ] y=⎣⎢⎢⎡y(1)y(2)⋯y(m)⎦⎥⎥⎤

将要求的θ\thetaθ也表示成矩阵的形式：
θ=[θ0θ1⋯θn]\mathbf{\theta} = \left [ \begin{matrix} \theta_0 \\ \theta_1 \\ \cdots \\ \theta_n \end{matrix} \right ] θ=⎣⎢⎢⎡θ0θ1⋯θn⎦⎥⎥⎤

将x⋅θx\cdot\thetax⋅θ的乘积记为A，有：
A=x⋅θ=[x0(1)x1(1)⋯xn(1)x0(2)x1(2)⋯xn(2)⋯⋯⋯⋯x0(m)x1(m)⋯xn(m)]⋅[θ0θ1⋯θm]=[θ0x0(1)θ1x1(1)⋯θnxn(1)θ0x0(2)θ1x1(2)⋯θnxn(2)⋯⋯⋯⋯θ0x0(m)θ1x1(m)⋯θnxn(m)]A = x\cdot\theta = \left [ \begin{matrix} x_0^{(1)} & x_1^{(1)} & \cdots & x_n^{(1)} \\ x_0^{(2)} & x_1^{(2)} & \cdots & x_n^{(2)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_0^{(m)} & x_1^{(m)} & \cdots & x_n^{(m)} \end{matrix} \right ] \cdot \left [ \begin{matrix} \theta_0 \\ \theta_1 \\ \cdots \\ \theta_m \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} \theta_0x_0^{(1)} & \theta_1x_1^{(1)} & \cdots & \theta_nx_n^{(1)} \\ \theta_0x_0^{(2)} & \theta_1x_1^{(2)} & \cdots & \theta_nx_n^{(2)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \theta_0x_0^{(m)} & \theta_1x_1^{(m)} & \cdots & \theta_nx_n^{(m)} \end{matrix} \right ] A=x⋅θ=⎣⎢⎢⎢⎡x0(1)x0(2)⋯x0(m)x1(1)x1(2)⋯x1(m)⋯⋯⋯⋯xn(1)xn(2)⋯xn(m)⎦⎥⎥⎥⎤⋅⎣⎢⎢⎡θ0θ1⋯θm⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡θ0x0(1)θ0x0(2)⋯θ0x0(m)θ1x1(1)θ1x1(2)⋯θ1x1(m)⋯⋯⋯⋯θnxn(1)θnxn(2)⋯θnxn(m)⎦⎥⎥⎥⎤

将hθ(x)−yh_{\theta}(x)-yhθ(x)−y记为E:
E=hθ(x)−y=[g(A1)−y1g(A2)−y2⋯g(Am)−ym]=[e1e2⋯em]=g(A)−yE=h_{\theta}(x)-y= \left [ \begin{matrix} g(A^1) - y^1 \\ g(A^2) - y^2\\ \cdots \\ g(A^m) -y^m \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} e^1 \\ e^2 \\ \cdots \\ e^m \end{matrix} \right ] = g(A) - y E=hθ(x)−y=⎣⎢⎢⎡g(A1)−y1g(A2)−y2⋯g(Am)−ym⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡e1e2⋯em⎦⎥⎥⎤=g(A)−y

由上面的式子可以看出，g(A)g(A)g(A)的参数是一个 m*1的矩阵，或者说是一个列向量。如果我们设计函数ggg的时候，支持传入一个列向量，并返回一个列向量，则hθ(x)−yh_{\theta}(x)-yhθ(x)−y可以一次计算得到结果。

回到我们的迭代公式，令j=0
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \theta_0: &=\t…

对于θj\theta_jθj，同理：
θj:=θj−α⋅(xj(1),xj(2),⋯,xj(n))⋅E\theta_j := \theta_j -\alpha \cdot(x_j^{(1)},x_j^{(2)},\cdots,x_j^{(n)})\cdot Eθj:=θj−α⋅(xj(1),xj(2),⋯,xj(n))⋅E

将其写成矩阵的表达式：
[θ0θ1⋯θm]:=[θ0θ1⋯θm]−α⋅[x0(1)x0(2)⋯x0(m)x1(1)x1(2)⋯x1(m)⋯⋯⋯⋯xn(1)xn(2)⋯xn(m)]⋅E=θ−α⋅xT⋅E\left [ \begin{matrix} \theta_0 \\ \theta_1 \\ \cdots \\ \theta_m \end{matrix} \right ] := \left [ \begin{matrix} \theta_0 \\ \theta_1 \\ \cdots \\ \theta_m \end{matrix} \right ] - \alpha \cdot \left [ \begin{matrix} x_0^{(1)} & x_0^{(2)} & \cdots & x_0^{(m)} \\ x_1^{(1)} & x_1^{(2)} & \cdots & x_1^{(m)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_n^{(1)} & x_n^{(2)} & \cdots & x_n^{(m)} \end{matrix} \right ] \cdot E = \theta-\alpha \cdot x^T \cdot E ⎣⎢⎢⎡θ0θ1⋯θm⎦⎥⎥⎤:=⎣⎢⎢⎡θ0θ1⋯θm⎦⎥⎥⎤−α⋅⎣⎢⎢⎢⎡x0(1)x1(1)⋯xn(1)x0(2)x1(2)⋯xn(2)⋯⋯⋯⋯x0(m)x1(m)⋯xn(m)⎦⎥⎥⎥⎤⋅E=θ−α⋅xT⋅E

所以最后的迭代公式为：θ=θ−α⋅xT⋅E\theta = \theta-\alpha \cdot x^T \cdot Eθ=θ−α⋅xT⋅E

4.几点需要注意的事项

1.x的矩阵表示方式里，上边的范围是m,表示样本的数量，下边的范围是n，表示每个样本变量的维度。整个样本矩阵的大小是mn。
2.如何快速理解θ\thetaθ的迭代公式？我自己总结的一个小技巧：
θ\thetaθ表示每一维特征的权重，所以它是n1的矩阵。xTx^TxT是nm，E是m1,这两个矩阵相乘，刚好得到一个n*1的矩阵，跟θ\thetaθ的大小是相吻合的！

5.批量梯度下降（Batch Gradient Descent）与随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent SGD)

对于迭代公式θ=θ−α⋅xT⋅E\theta = \theta-\alpha \cdot x^T \cdot Eθ=θ−α⋅xT⋅E 最大的好处就是形式简单明了，直接将样本矩阵与残差矩阵带入迭代即可。而且这种方式是将所有的训练样本代入，最终所求得的解也是全局最优解，求解出来的参数将使损失函数最小。如果将所有样本矩阵带入进行计算，这就是所谓的批量梯度下降(BGD)。但在实际应用场景中，最大的问题就是样本矩阵可能非常大。比如大到放不进内存，比如大到进行一轮迭代需要的运算时间非常长，这个时候，批量梯度下降就不是那么好用了。这个时候，我们可以采用考虑随机梯度下降 (SGD)。
BGD是一次训练带入所有样本，SGD则是每来一次样本进行一次计算：
θj:=θj+α(yi−hθ(xi))xji\theta_j:=\theta_j + \alpha(y^i - h_\theta(x^i))x_j ^iθj:=θj+α(yi−hθ(xi))xji
i表示是第i个样本，j表示样本第j个维度。
SGD是通过每个样本来迭代更新。如果样本的数量很多，有可能才迭代了一小部分样本，就已经得到了θ\thetaθ的解。所以SGD的收敛速度可能比BGD要快，而且运算量小。但是SGD的问题是每次迭代并不是全局最优解的方向，尤其是遇到噪声数据，影响会比较大。有的时候SGD在最优解附近会存在比较明显的锯齿震荡现象，即损失函数的值会在最优解附近上下震荡一段时间才最终收敛。