转载：CRC校验原理

1、循环校验码（CRC码）：是数据通信领域中最常用的一种差错校验码，其特征是信息字段和校验字段的长度可以任意选定。

2、生成CRC码的基本原理：任意一个由二进制位串组成的代码都可以和一个系数仅为‘0’和‘1’取值的多项式一一对应。例如：代码1010111对应的多项式为x⁶+x⁴+x²+x+1，而多项式为x⁵+x³+x²+x+1对应的代码101111。

3、CRC码集选择的原则：若设码字长度为N，信息字段为K位，校验字段为R位(N=K+R)，则对于CRC码集中的任一码字，存在且仅存在一个R次多项式g(x)，使得

V(x)=A(x)g(x)=x^Rm(x)+r(x);

其中:    m(x)为K次信息多项式， r(x)为R-1次校验多项式，

g(x)称为生成多项式：

g(x)=g₀+g₁x+ g₂x²+...+g_(R-1)x^(R-1)+g_Rx^R

发送方通过指定的g(x)产生CRC码字，接收方则通过该g(x)来验证收到的CRC码字。

4、CRC校验码软件生成方法：

借助于多项式除法，其余数为校验字段。

例如：信息字段代码为: 1011001；对应m(x)=x⁶+x⁴+x³+1

假设生成多项式为：g(x)=x⁴+x³+1；则对应g(x)的代码为: 11001

x⁴m(x)=x¹⁰+x⁸+x⁷+x⁴ 对应的代码记为：10110010000；

采用多项式除法:  得余数为: 1010     (即校验字段为：1010）

发送方：发出的传输字段为: 1 0 1 1 0 0 1 1 0 10

                          信息字段      校验字段

接收方：使用相同的生成码进行校验:接收到的字段/生成码（二进制除法）如果能够除尽，则正确，

CRC（Cyclic Redundancy Check)循环冗余校验码

　　是常用的校验码，在早期的通信中运用广泛，因为早期的通信技术不够可靠（不可靠性的来源是通信技术决定的，比如电磁波通信时受雷电等因素的影响），不可靠的通信就会带来‘确认信息’的困惑，书上提到红军和蓝军通信联合进攻山下的敌军的例子，第一天红军发了条信息要蓝军第二天一起进攻，蓝军收到之后，发一条确认信息，但是蓝军担心的是‘确认信息’如果也不可靠而没有成功到达红军那里，那自己不是很危险？于是红军再发一条‘对确认的确认信息’，但同样的问题还是不能解决，红军仍然不敢贸然行动。
　　对通信的可靠性检查就需要‘校验’，校验是从数据本身进行检查，它依靠某种数学上约定的形式进行检查，校验的结果是可靠或不可靠，如果可靠就对数据进行处理，如果不可靠，就丢弃重发或者进行修复。
　　CRC码是由两部分组成，前部分是信息码，就是需要校验的信息，后部分是校验码，如果CRC码共长n个bit，信息码长k个bit，就称为(n,k)码。它的编码规则是：
　　1、首先将原信息码(kbit)左移r位(k+r=n)
　　2、运用一个生成多项式g(x)（也可看成二进制数）用模2除上面的式子，得到的余数就是校验码。
　　非常简单，要说明的：模2除就是在除的过程中用模2加，模2加实际上就是我们熟悉的异或运算，就是加法不考虑进位，公式是：
　　0+0=1+1=0,1+0=0+1=1
　　即‘异’则真，‘非异’则假。
　　由此得到定理：a+b+b=a 也就是‘模2减’和‘模2加’真值表完全相同。
　　有了加减法就可以用来定义模2除法，于是就可以用生成多项式g(x)生成CRC校验码。
　　例如： g(x)=x4+x3+x2+1,(7,3)码,信息码110产生的CRC码就是：
　　对于g(x)=x4+x3+x2+1的解释：（都是从右往左数）x4就是第五位是1，因为没有x1所以第2位就是0。
　　11101 | 110,0000（设a=11101 ，b=1100000）
　　取b的前5位11000跟a异或得到101
　　101加上b没有取到的00得到10100
　　然后跟a异或得到01001
　　也就是余数1001

101
     11101 | 110,0000
             111 01
               1 0100
               1 1101
                 1001

　　余数是1001，所以CRC码是110,1001

　　标准的CRC码是，CRC-CCITT和CRC-16，它们的生成多项式是：
　　CRC-CCITT=x^16+x^12+x^5+1
　　CRC-16=x^16+x^15+x^2+1

先举个例子：

已知信息位为1100，生成多项式G(x) = x3+x+1，求CRC码。
M(x) = 1100 M(x)*x3 = 1100000 G(x) = 1011
M(x)*x3 / G(x) = 1110 + 010 /1011 R(x) = 010
CRC码为： M(x)*x 3+R(x)=1100000+010 =1100010
其原理是：CRC码一般在k位信息位之后拼接r位校验位生成。编码步骤如下：
（1）将待编码的k位信息表示成多项式 M(x)。
（2）将 M(x)左移 r 位，得到 M(x)*xr 。
（3）用r+1位的生成多项式G(x)去除M(x)*xr 得到余数R(x)。
（4）将M(x)*xr 与R(x)作模2加，得到CRC码。

“模2除”的演示图片：

“模2除”中间过程的减法为“模2减”，即异或运算。