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题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

格式

输入格式

输入的第一行有两个整数T(1≤T≤1000)T(1\le T\le1000)T(1≤T≤1000)和M(1≤M≤100)M(1\le M\le100)M(1≤M≤100)，用一个空格隔开，TTT代表总共能够用来采药的时间，MMM代表山洞里的草药的数目。接下来的MMM行每行包括两个在111到100100100之间（包括111和100100100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

样例

输入样例

输出样例

提示

对于30%30\%30%的数据，M≤10M\le10M≤10；
对于全部的数据，M≤100M\le100M≤100。

解题思路

这题是DPDPDP（动态规划） 背包问题的一个经典例题。而像基础的背包问题解决办法都是依照下图来的：

这个图是在输入为

的时候出现的结果。动态规划数组f[i][v]f[i][v]f[i][v]的数字表示前iii种草药在时间为vvv时可采集的最大草药数。但是上图有错，正确应如下图：

上图的红框内就是错误的地方，蓝色的“888”是正确该填的数字。废话少说，我们来讲讲这个图是怎么来的：我们举个栗子，上图的绿框内数字“777”是这么求来的：首先，考虑不选择采集当前第iii种草药（现在为333）的情况，也就是f[i−1][v]f[i-1][v]f[i−1][v]；其次，考虑时间足够且选择当前第iii种草药（现在为333）的情况，也就是要把时间分成两部分，一部分是为了采摘当前种草药（现在为444）的，另一部分是为了采摘之前的最大草药数（现在为666），则为f[i−1][v−t[i]]+w[i]f[i-1][v-t[i]]+w[i]f[i−1][v−t[i]]+w[i]（其中t[i]t[i]t[i]表示采摘第iii种草药所需的时间，w[i]w[i]w[i]表示第iii种草药的价值）。

Code

顺推法

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<istream>
#include<ostream>
#include<ios>
#include<set>
#include<fstream>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#define maxn 1000
using namespace std;
int t, m, q[maxn + 1], w[maxn + 1], s[maxn + 1][maxn + 1];void init()
{cin>>t>>m;for (int i = 1; i <= m; i ++) cin>>q[i]>>w[i];
}void comp()
{for (int i = 1; i <= m; i ++) for (int j = 1; j <= t; j ++) // DP（动态规划）循环{if (q[i] <= j) s[i][j] = max(s[i - 1][j], s[i - 1][j - q[i]] + w[i]);else s[i][j] = s[i - 1][j]; // 顺推，使用二维数组}
}void oput()
{cout<<s[m][t]; // 输出结果
}int main()
{init();comp();oput();return 0;
}

逆推法

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<istream>
#include<ostream>
#include<ios>
#include<set>
#include<fstream>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#define maxn 1000
using namespace std;
int t, m, q[maxn + 1], w[maxn + 1], s[maxn + 1];void init()
{cin>>t>>m;for (int i = 1; i <= m; i ++) cin>>q[i]>>w[i];
}void comp()
{for (int i = 1; i <= m; i ++) for (int j = t; j >= 1; j --) // DP（动态规划）循环{if (q[i] <= j) s[j] = max(s[j], s[j - q[i]] + w[i]); // 逆推，使用一维数组}
}void oput()
{cout<<s[t]; // 输出结果
}int main()
{init();comp();oput();return 0;
}

顺推+编号

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<istream>
#include<ostream>
#include<ios>
#include<set>
#include<fstream>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#define maxn 1000
using namespace std;
int t, m, q[maxn + 1], w[maxn + 1], s[maxn + 1][maxn + 1], e[maxn + 1];void init()
{cin>>t>>m;for (int i = 1; i <= m; i ++) cin>>q[i]>>w[i];
}void comp()
{for (int i = 1; i <= m; i ++) for (int j = 1; j <= t; j ++) // DP（动态规划）循环{if (q[i] <= j) s[i][j] = max(s[i - 1][j], s[i - 1][j - q[i]] + w[i]);else s[i][j] = s[i - 1][j]; // 顺推，使用二维数组}for (int i = m; i >= 1; i --){if (s[i][t]!=s[i-1][t]) // 说明当前选择了新的草药{e[i] = 1;}}
}void oput()
{cout<<s[m][t];cout<<endl;for (int i = 1; i <= m; i ++) if (e[i]) cout<<i<<" ";
}int main()
{init();comp();oput();return 0;
}

顺推+滚动

滚动数组

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<istream>
#include<ostream>
#include<ios>
#include<set>
#include<fstream>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#define maxn 1000000
using namespace std;
int n, m, a[maxn + 1], b[maxn + 1], t[maxn + 1], s[maxn + 1];void init()
{cin>>n>>m;for (int i = 1; i <= m; i ++) cin>>t[i]>>s[i];
}void dp()
{for (int i = 1; i <= m; i ++) // DP（动态规划）循环{memcpy(b, a, sizeof(a)); // 滚动数组for (int j = t[i]; j <= n; j ++) a[j] = max(b[j], b[j - t[i]] + s[i]);}
}void oput()
{cout<<a[n]; // 输出结果
}int main()
{init();dp();oput();return 0;
}

大功告成∼\sim∼

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