2.8.1 矩阵的合同

1 定义

现给出 f ( x ) = x T A x f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} f(x)=xTAx，令 x = C y \boldsymbol{x}=\boldsymbol{Cy} x=Cy，则 f ( x ) = C y T A C y = y T ( C T A C ) y f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{Cy}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{Cy}=\boldsymbol{y}^T(\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})\boldsymbol{y} f(x)=CyTACy=yT(CTAC)y。记 B = C T A C \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C} B=CTAC，则 f ( x ) = y T B y = g ( y ) f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}=g(\boldsymbol{y}) f(x)=yTBy=g(y)。此时二次型 f ( x ) = x T A x f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} f(x)=xTAx 通过线性变换 x = C y \boldsymbol{x}=\boldsymbol{Cy} x=Cy 得到一个新二次型 g ( y ) = y T B y g(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{B}\boldsymbol{y} g(y)=yTBy。
设 A , B \boldsymbol{A},\boldsymbol{B} A,B 为 n n n 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 C \boldsymbol{C} C，使得 C T A C = B \boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B} CTAC=B，则称 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 合同，记作 A ≃ B \boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B} A≃B，此时称 f ( x ) f(\boldsymbol{x}) f(x) 与 g ( y ) g(\boldsymbol{y}) g(y) 为合同二次型。

2 本质

在二次型中， A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 的合同，就是指同一个二次型在可逆性变换下的两个不同状态的联系。

3 性质

A ≃ A \boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{A} A≃A（反身性）
若 A ≃ B \boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B} A≃B，则 B ≃ A \boldsymbol{B} \simeq \boldsymbol{A} B≃A。（对称性）
若 A ≃ B , B ≃ C \boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}, \boldsymbol{B} \simeq \boldsymbol{C} A≃B,B≃C，则 B ≃ C \boldsymbol{B} \simeq \boldsymbol{C} B≃C。（传递性）
若 A ≃ B \boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B} A≃B，则 r ( A ) = r ( B ) r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B}) r(A)=r(B)，因此可逆线性变换不会改变二次型的秩。

由于在二次型中，二次型的矩阵都是对称矩阵，所以和对称矩阵合同的矩阵也必是对称矩阵，因为若 A ≃ B \boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B} A≃B，即存在可逆矩阵 C \boldsymbol{C} C，使得 C T A C = B \boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B} CTAC=B，其中 A T = A \boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A} AT=A，则 B T = ( C T A C ) T = C T A T C = C T A C = B \boldsymbol{B}^T=(\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})^T=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B} BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B。

4 合同标准形和合同规范形

合同标准形：若二次型 f ( x ) = x T A x f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} f(x)=xTAx 合同于标准形 d 1 x 1 2 + d 2 x 2 2 + ⋯ + d n x n 2 d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2 d1x12+d2x22+⋯+dnxn2，则称 d 1 x 1 2 + d 2 x 2 2 + ⋯ + d n x n 2 d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2 d1x12+d2x22+⋯+dnxn2 为 f ( x ) f(\boldsymbol{x}) f(x) 的合同标准形。
合同规范形：若二次型 f ( x ) = x T A x f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} f(x)=xTAx 合同于规范形 x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2 x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2 x12+⋯+xp2−xp+12−⋯−xp+q2，则称 x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2 x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2 x12+⋯+xp2−xp+12−⋯−xp+q2 为 f ( x ) f(\boldsymbol{x}) f(x) 的合同规范形。

5 二次型 → \rightarrow → 标准形、规范形

任何二次型均可通过配方法（作可逆线性变换）化成标准形及规范形，用矩阵语言表述：任何实对称矩阵 A \boldsymbol{A} A，必存在可逆矩阵 C \boldsymbol{C} C，使得 C T A C = Λ \boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{\Lambda} CTAC=Λ，其中 Λ = [ d 1 d 2 ⋱ d n ] \boldsymbol{\Lambda}=\begin{bmatrix} d_1 \\ & d_2 \\ & & \ddots \\ & & & d_n \end{bmatrix} Λ=⎣⎢⎢⎡d1d2⋱dn⎦⎥⎥⎤ 或 Λ = [ 1 ⋱ 1 − 1 ⋱ − 1 0 ⋱ 0 ] \boldsymbol{\Lambda}=\begin{bmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & -1 \\ & & & & \ddots \\ & & & & & -1 \\ & & & & & & 0 \\ & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & 0 \end{bmatrix} Λ=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1−1⋱−10⋱0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤。
任何二次型均可通过正交变换化成标准形，用矩阵语言表述：任何实对称矩阵 A \boldsymbol{A} A，必存在正交矩阵 Q \boldsymbol{Q} Q，使得 Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ \boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda} Q−1AQ=QTAQ=Λ，其中 Λ = [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] \boldsymbol{\Lambda}=\begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} Λ=⎣⎢⎢⎡λ1λ2⋱λn⎦⎥⎥⎤。

5.1 用配方法化二次型为标准形、规范形

化二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 − x 2 2 − 2 x 2 x 3 − x 3 2 f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3-x_2^2-2x_2x_3-x_3^2 f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+2x1x3−x22−2x2x3−x32 为标准形并写出所作的可逆线性变换。

用矩阵表述为：设 A = [ 1 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 ] \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} A=⎣⎡1111−1−11−1−1⎦⎤，求可逆线性变换 C \boldsymbol{C} C，使得 C T A C = Λ \boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{\Lambda} CTAC=Λ，并写出 Λ \boldsymbol{\Lambda} Λ。

若有平方项，应将平方项与其交叉项配成完全平方；若没有平方项，应作可逆线性变换 { x 1 = y 1 + y 2 x 2 = y 1 − y 2 x 3 = y 3 \begin{cases} x_1=y_1+y_2\\ x_2 = y_1 - y_2\\ x_3 = y_3 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1=y1+y2x2=y1−y2x3=y3，使其出现平方项，然后再配完全平方。
当总的平方项的个数小于变量数目时，应当补齐，如 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 − 2 ( x 2 + x 3 ) 2 + 0 x 3 2 f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_2+x_3)^2+0x_3^2 f(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3)2−2(x2+x3)2+0x32。

通过配方法可以得到：

所做的可逆线性变换

与 A \boldsymbol{A} A 合同的对角矩阵

二次型（或 A \boldsymbol{A} A）的秩

正、负惯性指数

是否正定

5.2 用正交变换化二次型为标准形

用正交变换化二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 x 1 2 + 5 x 2 2 + 5 x 3 2 + 4 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 − 8 x 2 x 3 f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3 f(x1,x2,x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2−4x1x3−8x2x3 为标准形并求所作的正交变换。

用矩阵语言表述为：设 A = [ 2 2 − 2 2 5 − 4 − 2 − 4 5 ] \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \\ \end{bmatrix} A=⎣⎡22−225−4−2−45⎦⎤，求正交矩阵 Q \boldsymbol{Q} Q，使得 Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ \boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda} Q−1AQ=QTAQ=Λ，并写出对角矩阵 Λ \boldsymbol{\Lambda} Λ。

求 A \boldsymbol{A} A
求特征矩阵和特征向量
正交化（如果需要的化）、规范化

∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i , ∣ A ∣ = ∏ i = 1 n λ i \sum\limits_{i=1}^n\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^na_{ii},\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}=\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i i=1∑nλi=i=1∑naii,∣∣A∣∣=i=1∏nλi；

当 λ i ≠ λ j , i ≠ j \lambda_i \ne \lambda_j,i \ne j λi=λj,i=j 时， ( ξ i , ξ j ) = 0 (\boldsymbol{\xi}_i,\boldsymbol{\xi}_j)=0 (ξi,ξj)=0。

正交变换只能化二次型为标准形，不能化为规范形（除非特征值都属于 { 1 , − 1 , 0 } \{1,-1,0\} {1,−1,0}。

正交变换不唯一，但是标准形却是唯一的，求的特征值后即可得到标准形为 λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 \lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2 λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2。

6 惯性定理

无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准形或规范形，其正项个数 p p p，负项个数 q q q 都是不变的， p p p 称为正惯性指数， q q q 称为负惯性指数。
若二次型的秩为 r r r，则 r = p + q r=p+q r=p+q，合同变换不改变正、负惯性指数。
两个二次型（或实对称矩阵）合同的充要条件是有相同的正负惯性指数或有相同的秩及正（或负）惯性指数。

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2.8.1 矩阵的合同

1 定义

2 本质

3 性质

4 合同标准形和合同规范形

5 二次型 → \rightarrow → 标准形、规范形

5.1 用配方法化二次型为标准形、规范形

5.2 用正交变换化二次型为标准形

6 惯性定理

2.8.1 矩阵的合同相关推荐

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