—【动态规划】凸多边形最优三角剖分

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0014算法笔记——【动态规划】凸多边形最优三角剖分

分类：算法 2013-03-05 20:10 612人阅读评论(0) 收藏举报

三角剖分凸多边形最优解动态规划算法笔记

1、问题相关定义：

(1)凸多边形的三角剖分：将凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。

(2)最优剖分：给定凸多边形P，以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，使得该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。

凸多边形三角剖分如下图所示：

2、最优子结构性质：

若凸(n+1)边形P={V0,V1……Vn}的最优三角剖分T包含三角形V0VkVn,1<=k<=n，则T的权为三个部分权之和：三角形V0VkVn的权，多边形{V0,V1……Vk}的权和多边形{Vk,Vk+1……Vn}的权之和。如下图所示：

可以断言，由T确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有{V0,V1……Vk}和{V0,V1……Vk}更小权的三角剖分，将导致T不是最优三角剖分的矛盾。因此，凸多边形的三角剖分问题具有最优子结构性质。

3、递推关系：

设t[i][j],1<=i<j<=n为凸多边形{Vi-1,Vi……Vj}的最优三角剖分所对应的权值函数值，即其最优值。最优剖分包含三角形Vi-1VkVj的权，子多边形{Vi-1,Vi……Vk}的权，子多边形{Vk，Vk+1……Vj}的权之和。

因此，可得递推关系式：

凸(n+1)边形P的最优权值为t[1][n]。

程序清单如下：

[cpp] view plain copy

//3d5 凸多边形最优三角剖分
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 7;//凸多边形边数+1
int weight[][N] = {{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};//凸多边形的权
int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s);
void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解
int Weight(int a,int b,int c);//权函数
int main()
{
int **s = new int *[N];
int **t = new int *[N];
for(int i=0;i<N;i++)
{
s[i] = new int[N];
t[i] = new int[N];
}
cout<<"此多边形的最优三角剖分值为："<<MinWeightTriangulation(N-1,t,s)<<endl;
cout<<"最优三角剖分结构为："<<endl;
Traceback(1,5,s); //s[i][j]记录了Vi-1和Vj构成三角形的第3个顶点的位置
return 0;
}
int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s)
{
for(int i=1; i<=n; i++)
{
t[i][i] = 0;
}
for(int r=2; r<=n; r++) //r为当前计算的链长（子问题规模）
{
for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1为最后一个r链的前边界
{
int j = i+r-1;//计算前边界为r，链长为r的链的后边界
t[i][j] = t[i+1][j] + Weight(i-1,i,j);//将链ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )这里实际上就是k=i
s[i][j] = i;
for(int k=i+1; k<j; k++)
{
//将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j])
int u = t[i][k] + t[k+1][j] + Weight(i-1,k,j);
if(u<t[i][j])
{
t[i][j] = u;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
return t[1][N-2];
}
void Traceback(int i,int j,int **s)
{
if(i==j) return;
Traceback(i,s[i][j],s);
Traceback(s[i][j]+1,j,s);
cout<<"三角剖分顶点：V"<<i-1<<",V"<<j<<",V"<<s[i][j]<<endl;
}
int Weight(int a,int b,int c)
{
return weight[a][b] + weight[b][c] + weight[a][c];
}

程序输入如下所示：

运行结果如图：

0015算法笔记——【动态规划】多边形游戏问题

分类：算法 2013-03-06 11:08 562人阅读评论(0) 收藏举报

动态规划算法笔记多边形游戏最优子结构

1、问题描述：

给定N个顶点的多边形，每个顶点标有一个整数，每条边上标有+(加)或是×(乘)号，并且N条边按照顺时针

依次编号为1~N。下图给出了一个N＝4个顶点的多边形。

游戏规则：(1) 首先，移走一条边。 (2) 然后进行下面的操作：选中一条边E，该边有两个相邻的顶点，不妨称为V1和V2。对V1和V2顶点所标的整数按照E上所标运算符号(+或是×)进行运算，得到一个整数；用该整数标注一个新顶点，该顶点代替V1和V2 。持续进行此操作，直到最后没有边存在，即只剩下一个顶点。该顶点的整数称为此次游戏的得分(Score)。

2、问题分析：

解决该问题可用动态规划中的最优子结构性质来解。

设所给的多边形的顶点和边的顺时针序列为op[1],v[1],op[2],v[2],op[3],…,op[n],v[n] 其中，op[i]表示第i条边所对应的运算符，v[i]表示第i个顶点上的数值，i=1~n。

在所给的多边形中，从顶点i（1<=i<=n）开始，长度为j（链中有j个顶点）的顺时针链p(i,j）可表示为v[i],op[i+1],…,v[i+j-1]，如果这条链的最后一次合并运算在op[i+s]处发生（1<=s<=j-1），则可在op[i+s]处将链分割为两个子链p(i,s)和p(i+s,j-s)。

设m[i,j,0]是链p(i,j)合并的最小值，而m[i,j,1]是最大值。若最优合并在op[i+s]处将p(i,j)分为两个长度小于j的子链的最大值和最小值均已计算出。即：

a=m[i,s,0] b=m[i,s,1] c=m[i,s,0] d=m[i,s,1]

(1) 当op[i+s]=’+’时

m[i,j,0]=a+c ；m[i,j,1]=b+d

(2) 当op[i+s]=’*’时

m[i,j,0]=min{ac,ad,bc,bd} ； m[i,j,1]=max{ac,ad,bc,bd}

由于最优断开位置s有1<=s<=j-1的j-1中情况。初始边界值为 m[i,1,0]=v[i] 1<=i<=n m[i,1,1]=v[i] 1<=i<=n

因为多变形式封闭的，在上面的计算中，当i+s>n时，顶点i+s实际编号为(i+s)modn。按上述递推式计算出的m[i,n,1]记为游戏首次删除第i条边后得到的最大得分。

算法具体代码如下：

[cpp] view plain copy

//3d6 多边形游戏
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;
#define NMAX 100
int N,m[NMAX+1][NMAX+1][2],v[NMAX+1];
char op[NMAX+1];
void MinMax(int n,int i,int s,int j,int &minf,int &maxf);
int PloyMax(int n,int& p);
int main()
{
int p;
cout<<"请输入多边形顶点数："<<endl;
cin>>N;
for(int i=1; i<=N; i++)
{
cout<<"请输入多边形顶点"<<i<<"数值:"<<endl;
cin>>v[i];
m[i][1][0]=v[i];
m[i][1][1]=v[i];
cout<<"请输入多边形边"<<i<<"运算符:"<<endl;
cin>>op[i];
}
cout<<"多边形游戏首次删除第"<<p<<"条边，结果为："<<PloyMax(N,p)<<endl;
return 0;
}
void MinMax(int n,int i,int s,int j,int &minf,int &maxf)
{
int e[5];