[离散数学]命题逻辑P_6：命题等价公式及应用
[离散数学]命题逻辑P_6：命题等价公式及应用
- 前言
- 1. 基本等价关系
- 定理
- 2. 判断公式类型
- 例1：证明公式类型
- 例2：证明复杂公式间的等价关系
- 3. 开关电路化简
- 4. 逻辑电路化简
- 5. 智力游戏
- 总结
前言
第六讲：命题公式等价公式及应用
数理逻辑，就是用数学的方法研究逻辑推理的规律。
命题公式(propositionalformulapropositional formulapropositionalformula)亦称合式公式，是数理逻辑术语，它是按照一定规律形成的符号序列，在命题演算中，公式通常用归纳定义给出。
根据两个公式等价的定义或判定定理，可以利用真值表来证明任意两个公式之间的等价关系，由此得到一组基本等价公式。
本文命题等价公式及应用是命题逻辑的第六部分。
1. 基本等价关系
定理
设G,H,SG,H,SG,H,S为任意的命题公式。
- 幂等律
E1:G∨G=GE_1:G\lor G=GE1:G∨G=G；
E2:G∧G=GE_2:G\land G=GE2:G∧G=G.
同真 - 析取或合取 - 为真
同假 - 析取或合取 - 为假
- 交换律
E3:G∨H=H∨GE_3:G\lor H=H \lor GE3:G∨H=H∨G；
E4:G∧H=H∧GE_4:G\land H=H \land GE4:G∧H=H∧G.
析取或合取的对称性
- 结合律
E5:G∨(H∨S)=(G∨H)∨SE_5:G\lor (H \lor S)=(G \lor H) \lor SE5:G∨(H∨S)=(G∨H)∨S；
E6:G∧(H∧S)=(G∧H)∨SE_6:G\land (H \land S)=(G \land H) \lor SE6:G∧(H∧S)=(G∧H)∨S.
三个公式析取或合取，先算前两个和先算后两个等价。
- 同一律
E7:G∨0=GE_7:G\lor 0=GE7:G∨0=G；
E8:G∧1=GE_8:G\land 1=GE8:G∧1=G.
1析取0为1；0析取0为0
1合取1为1；0合取0为0
此处运算律与集合相似，可以通过对比的方式进行记忆。
析取对应集合的并运算，合取对应集合的交运算。
0对应空集；1对应全集。
- 零律
E9:G∨1=1E_9:G\lor 1=1E9:G∨1=1；
E10:G∧0=0E_{10}:G\land 0=0E10:G∧0=0.
析取有一个为1，则为1
合取有一个为0，则为0
分配律
E11:G∨(H∧S)=(G∨H)∧(G∨S)E_{11}:G\lor (H \land S)=(G \lor H)\land (G\lor S)E11:G∨(H∧S)=(G∨H)∧(G∨S)；
E12:G∧(H∨S)=(G∧H)∨(G∧S)E_{12}:G\land (H \lor S)=(G \land H)\lor (G\land S)E12:G∧(H∨S)=(G∧H)∨(G∧S).吸收律
E13:G∨(G∧H)=GE_{13}:G\lor (G \land H)=GE13:G∨(G∧H)=G；
E14:G∧(G∨H)=GE_{14}:G\land (G \lor H)=GE14:G∧(G∨H)=G.
外层析取，内层合取；
外层合取，内层析取。
HHH就被吸收掉了，用于化简公式，可用于证明中。
- 矛盾律
E15:¬G∧G=0E_{15}:\lnot G\land G = 0E15:¬G∧G=0. - 排中律
E16:¬G∨G=1E_{16}:\lnot G\lor G = 1E16:¬G∨G=1. - 双重否定律
E17:¬(¬G)=GE_{17}:\lnot (\lnot G) = GE17:¬(¬G)=G. - 德摩根律
E18:¬(G∨H)=¬G∧¬HE_{18}:\lnot (G \lor H) = \lnot G \land \lnot HE18:¬(G∨H)=¬G∧¬H;
E19:¬(G∧H)=¬G∨¬HE_{19}:\lnot (G \land H) = \lnot G \lor \lnot HE19:¬(G∧H)=¬G∨¬H.
析取的否定=否定的合取；
合取的否定=否定的析取。
主要用于公式的变形
- 蕴涵式
E20:G→H)=¬G∨HE_{20}:G \rightarrow H) = \lnot G \lor HE20:G→H)=¬G∨H.
将
蕴涵联结词转化为否定联结词和析取联结词
常用，用于消除或添加蕴涵联结词。
- 假言易位
E21:G→H=¬H→¬GE_{21}:G \rightarrow H = \lnot H \rightarrow \lnot GE21:G→H=¬H→¬G.
如果GGG则HHH，等价于如果¬H\lnot H¬H则¬G\lnot G¬G。
即逆否命题，原命题为真，则逆否命题为真；原命题为假，则逆否命题为假。
- 等价式
E22:G↔H=(G→H)∧(H→G)=(¬G∨H)∧(¬H∨G)E_{22}:G \leftrightarrow H = (G \rightarrow H) \land (H \rightarrow G) = (\lnot G \lor H) \land (\lnot H \lor G)E22:G↔H=(G→H)∧(H→G)=(¬G∨H)∧(¬H∨G).
等价联结词- 转化为蕴涵联结词- 转化为否定联结词和析取联结词。
可用于消去或添加等价联结词。
- 等价否定等式
E23:G↔H=¬G↔¬HE_{23}:G \leftrightarrow H = \lnot G \leftrightarrow \lnot HE23:G↔H=¬G↔¬H.
GGG等价HHH，¬G\lnot G¬G也等价¬H\lnot H¬H
- 归谬论
E24:(G→H)∧(G→¬H)=¬GE_{24}:(G \rightarrow H) \land (G \rightarrow \lnot H) = \lnot GE24:(G→H)∧(G→¬H)=¬G.
即反证法，假设结论不成立，找出矛盾，说明假设不正确，证明原结论成立。
如果GGG，则HHH，且如果GGG，则¬H\lnot H¬H，存在矛盾 - 说明GGG不成立，即¬G\lnot G¬G。
2. 判断公式类型
例1：证明公式类型
利用命题公式的基本等价关系，证明(P→Q)∧P→Q(P→Q)\land P→Q(P→Q)∧P→Q是重言式。
证明
通常第一步 - 通过
蕴含式消去蕴涵联结词 - 蕴涵联结词不方便进行变换和化简。
(P→Q)∧P→Q\left( P\rightarrow Q \right) \land P\rightarrow Q(P→Q)∧P→Q
=(¬P∨Q)∧P→Q=¬((¬P∨Q)∧P)∨Q=(\lnot P \lor Q) \land P \rightarrow Q = \lnot (( \lnot P \lor Q) \land P) \lor Q=(¬P∨Q)∧P→Q=¬((¬P∨Q)∧P)∨Q （蕴含式）
消去第二个蕴涵联结词时，【(¬P∨Q)∧P(\lnot P \lor Q) \land P(¬P∨Q)∧P】整体为蕴涵的前件，对整体取否定。
公式【¬((¬P∨Q)∧P)\lnot((\lnot P \lor Q) \land P)¬((¬P∨Q)∧P)】结构为合取后取否定，符合德摩根律。
公式【¬(¬P∨Q)\lnot (\lnot P \lor Q)¬(¬P∨Q)】结构为合取后取否定，符合德摩根律。
=(¬(¬P∨Q)∨¬P)∨Q=((P∧¬Q)∨¬P)∨Q=(\lnot (\lnot P \lor Q) \lor \lnot P) \lor Q = ((P \land \lnot Q) \lor \lnot P)\lor Q=(¬(¬P∨Q)∨¬P)∨Q=((P∧¬Q)∨¬P)∨Q （德摩根律）
公式【(P∧¬Q)∨¬P(P \land \lnot Q) \lor \lnot P(P∧¬Q)∨¬P】，内层为合取，外层为析取，符合
分配律，将其展开。
=((P∨¬P)∧(¬Q∨¬P))∨Q=((P \lor \lnot P) \land (\lnot Q \lor \lnot P)) \lor Q=((P∨¬P)∧(¬Q∨¬P))∨Q （分配律）
公式【P∨¬PP \lor \lnot PP∨¬P】符合
排中律，结果为1。
=(1∧(¬Q∨¬P))∨Q=(1 \land (\lnot Q \lor \lnot P)) \lor Q=(1∧(¬Q∨¬P))∨Q （排中律）
公式【1∧(¬Q∨¬P)1 \land (\lnot Q \lor \lnot P)1∧(¬Q∨¬P)】符合
同一律。
=(¬Q∨¬P)∨Q=(\lnot Q \lor \lnot P) \lor Q=(¬Q∨¬P)∨Q （同一律）
公式【(¬Q∨¬P)∨Q(\lnot Q \lor \lnot P) \lor Q(¬Q∨¬P)∨Q】中三个部分间都是析取，可使用
结合律和交换律。
=(¬Q∨Q)∨¬P=(\lnot Q \lor Q)\lor \lnot P=(¬Q∨Q)∨¬P （结合律，交换律）
公式【¬Q∨Q\lnot Q \lor Q¬Q∨Q】符合
排中律，结果为1。
=1∨¬P=1\lor \lnot P=1∨¬P （排中律）
根据
零律，1析取任何一个值都为1
=1= 1=1 （零律）
此类问题主要是变形和化简的过程，先对蕴涵或等价联结词进行消去，然后运用德摩根律、分配律、结合律、交换律等，将相同的命题变元放在一起进行化简，直到可以确定公式的类型为止。
例2：证明复杂公式间的等价关系
利用命题公式的基本等价关系，证明P→(Q→R)=(P∧Q)→RP→(Q→R)=(P\land Q)→RP→(Q→R)=(P∧Q)→R。
证明
P→(Q→R)P→(Q→R)P→(Q→R)
=¬P∨(Q→R)=\lnot P \lor (Q\rightarrow R)=¬P∨(Q→R) （蕴含式）
=¬P∨(¬Q∨R)=\lnot P \lor (\lnot Q\lor R)=¬P∨(¬Q∨R) （蕴含式）
=(¬P∨¬Q)∨R=(\lnot P \lor \lnot Q) \lor R=(¬P∨¬Q)∨R （结合律）
=¬(P∧Q)∨R=\lnot ( P \land Q) \lor R=¬(P∧Q)∨R （德摩根律）
=(P∧Q)→R=( P \land Q) \rightarrow R=(P∧Q)→R （蕴含式）
3. 开关电路化简
利用命题公式的基本等价关系，化简如下图所示开关电路。
解
((P∧Q∧R)∨(P∧Q∧S))∧((P∧R)∨(P∧S))((P\land Q \land R)\lor (P\land Q \land S)) \land ((P\land R) \lor (P \land S))((P∧Q∧R)∨(P∧Q∧S))∧((P∧R)∨(P∧S))
=(P∧Q∧(R∨S))∧(P∧(R∨S))=(P\land Q \land (R\lor S)) \land (P \land (R \lor S))=(P∧Q∧(R∨S))∧(P∧(R∨S))
=P∧Q∧(R∨S)∧P∧(R∨S)=P\land Q \land (R\lor S) \land P \land (R \lor S)=P∧Q∧(R∨S)∧P∧(R∨S)
=P∧Q∧(R∨S)=P\land Q \land (R\lor S)=P∧Q∧(R∨S)
化简后的电路图：
化简后开关电路功能与原开关电路功能完全一致。
4. 逻辑电路化简
利用命题公式的基本等价关系，化简如下左图所示逻辑电路。
逻辑电路中的
与门对应逻辑运算符的合取，或门对应析取。
解
((P∧Q∧R)∨(P∨Q∨S))∧(P∧S∧T)((P\land Q \land R)\lor (P\lor Q \lor S)) \land (P\land S\land T)((P∧Q∧R)∨(P∨Q∨S))∧(P∧S∧T)
吸收率- (P∧Q∧R)∨P(P\land Q \land R)\lor P(P∧Q∧R)∨P = PPP
=(P∨Q∨S)∧(P∧S∧T)=(P\lor Q \lor S)\land (P\land S\land T)=(P∨Q∨S)∧(P∧S∧T)
吸收率- (P∨Q∨S)∧P(P\lor Q \lor S)\land P(P∨Q∨S)∧P = PPP
=P∧S∧T=P\land S\land T=P∧S∧T
5. 智力游戏
侦探调查了罪案的四位证人。从证人的话侦探得出的结论是：如果男管家说的是真话，那么厨师说的也是真话；厨师和园丁说的不可能都是真话;园丁和杂役不可能都在说谎；如果杂役说真话，那么厨师在说谎。侦探能判定这四位证人分别是在说谎还是在说真话吗？解释你的推理。
解
令命题 PPP：男管家说的是真话；QQQ：厨师说的是真话；RRR：园丁说的是真话；SSS：杂役说的是真话。
则将上述已知条件符号化并列出真值表，选取真值结果为真的行如下表：
| PPP QQQ RRR SSS | P→QP \rightarrow Q%P→Q | ¬(Q∧R)\lnot(Q \land R)¬(Q∧R) | ¬(¬R∧¬S)\lnot(\lnot R \land \lnot S)¬(¬R∧¬S) | S→¬QS \rightarrow \lnot QS→¬Q |
|---|---|---|---|---|
| 000 000 000 111 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 000 000 111 000 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 000 000 111 111 | 1 | 1 | 1 | 1 |
可见，我们能确定P,QP,QP,Q必然为假，但无法确定RRR和SSS的值，因而侦探只能判定男管家和厨师在说谎，但无法判定园丁与杂役谁在说真话。
总结
本文介绍了命题逻辑中的命题等价公式及应用部分，对命题逻辑有深入的了解。
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